大学数学レベルの記事一覧
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大学数学 の257記事をまとめました。くわしくは各リンク先を見てください。
確率・統計分野については大学数学レベルの記事一覧その2を参照して下さい。
【式の計算】
【方程式，恒等式】
【不等式】
【いろんな関数】
【平面図形】
【空間図形】
【座標，ベクトル】
【集合，命題，論証】
- 集合の濃度と可算無限・非可算無限
- 集合関数，劣モジュラ性とは
- 全称記号（任意の〜）と存在記号（ある〜）について
- カントールの定理の証明と対角線論法
- 同値関係といろいろな例
- ベルンシュタインの定理とその証明
- 群の剰余類とラグランジュの定理
- 直積（2つの集合の直積から無限個の場合まで）
【指数・対数関数】
【場合の数】
【微分】
【積分】
【二次曲線】
【線形代数】
- ヴァンデルモンド行列式の証明と応用例
- 行列式の基本的な定義・性質・意味
- バーコフ–フォン・ノイマンの定理
- クラメルの公式の具体例と証明
- 行列の固有値・固有ベクトルの定義と具体的な計算方法
- 行列の積の定義とその理由
- 逆行列の補助定理（Woodburyの恒等式）
- 転置行列の意味・重要な7つの性質と証明
- 次元定理の意味，具体例，証明
- マトロイドの定義と具体例
- 半正定値対称行列の意味と性質【固有値・二次形式・分解・小行列式】
- 対称行列の定義と性質～固有値と固有ベクトルの性質
- 固有多項式とケーリー・ハミルトンの定理
- 正規方程式の導出と計算例
- 行列の対角化の意味と具体的な計算方法
- 行列のトレースのいろいろな性質とその証明
- 逆行列の定義・逆行列を求める２通りの方法と例題
- ガウスの消去法（掃き出し法）による連立一次方程式の解き方
- 行列のランク(rank)の８通りの同値な定義・性質
- 同時対角化可能⇔交換可能の意味と証明
- ブロック行列の行列式，逆行列の公式と証明
- 直交行列の５つの定義と性質の証明
- 二次形式の意味，微分，標準形など
- 行列の基本変形の意味と応用（rank・行列式の計算）
- 行列のカーネル（核）の性質と求め方
- 特異値分解の定義，性質，具体例
- 行列のフロベニウスノルムとその性質
- 行列のパフィアン，パーマネント，ハフニアン
- 漸化式の特性方程式の意味とうまくいく理由
- ビネ・コーシーの定理とその証明
- ジョルダン標準形の意味と求め方
- 行列の指数関数とその性質
- 行列のn乗の求め方と例題
- 行列が正則であることの意味と5つの条件
- 上三角行列と下三角行列の意味と6つの定理
- アダマール行列の定義と性質
- 三重対角行列の特殊形の固有値は綺麗
- 行列の無限等比級数
- テンソルとは何か Part.1
- 交代行列の定義と性質
- テンソルとは何か Part.2
- 行列の指数関数の計算方法
- 巡回行列の固有値・固有ベクトルと行列式
- 射影行列のイメージと楽しい公式
- エルミート行列とその性質，ユニタリ対角化の証明
- ユニタリ行列の定義と性質の証明
- シルベスターの慣性法則の意味と証明
- 単位行列の意味と性質，1との比較
- 一般化逆行列（ムーア・ペンローズの疑似逆行列）
- 最小ノルム解の導出と図による理解
- 行列のQR分解と応用（固有値・最小二乗法）
- 正規行列の意味と3つの代表例
- 余因子と余因子行列
- 行列のスペクトル分解
- 内積の入ったベクトル空間～内積空間（計量ベクトル空間）
- 直交補空間の性質
- ノルム空間はいつ内積空間になるのか？～証明
- 攻略！ 行列式計算～その2～
- 攻略！ 行列式計算～その1：基本練習問題8パターン
- 攻略！ 行列式計算～その3：固有値を活用した計算
- 岩澤分解
- 行列の最小多項式
- 行列の上三角化～グラム・シュミットの直交化法を用いて
- 基底の変換行列～定義と具体例
- 線型写像の表現行列とその例
- 随伴行列の定義・重要な性質
- 線型写像とその例～行列・一次変換など
- 商ベクトル空間
- 表現行列の観点から見た対角化
- 同時対角化の練習問題～院試の問題を通して
- 行列の固有空間とその性質
- 一般線型群・ユニタリ群・直交群
- 線型代数の有名事実～部分空間と次元の関係について
【代数，情報・暗号理論】
- 置換の基礎（互換・偶置換・奇置換・符号の意味）
- 情報量の意味と対数関数を使う理由
- 群の定義といろいろな具体例
- 差積の意味と置換の符号が定義できることの証明
- 有限体（ガロア体）の基本的な話
- 相互情報量の意味とエントロピーとの関係
- 環の定義とその具体例
- 環の基礎用語～準同型・部分環・イデアル～
- 写像・単射・全射
- ギリシアの三大作図問題
- 体の基礎用語～拡大体と拡大次数
- 部分群とその具体例
- 群の準同型と準同型定理
- 正規部分群と剰余群（商群）
- 群の生成元と元の位数
- 群論有名問題～指数有限の部分群は指数有限の正規部分群を持つ
- リー群入門～定義と線型リー群の例
- シローの定理とその応用
- 環の基礎用語～剰余環・準同型定理～
- 環の基礎用語～素イデアル・極大イデアル～
- 対称群と交代群の基本的な性質
【解析】
- 関数の連続性と一様連続性
- フレネル積分（sin x^2の積分）
- 多変数のガウス積分
- ガンマ関数（階乗の一般化）の定義と性質
- ディリクレ関数の定義と有名な３つの性質
- テイラーの定理とテイラー展開～例と証明
- 変数分離形の微分方程式の解法と例題
- 一般化二項定理とルートなどの近似
- 各点収束と一様収束の違いと具体例
- 絶対収束と条件収束の意味と具体例
- 放射性炭素年代測定法の原理と微分方程式
- sup(上限)とinf(下限)の意味，max・minとの違い
- C1級関数,Cn級関数などの意味と具体例
- ロルの定理，平均値の定理とその証明
- フーリエ級数展開の公式と意味
- 多変数関数の極値判定とヘッセ行列
- 複素数型のフーリエ級数展開とその導出
- 偏微分の順序交換の十分条件とその証明
- 二変数関数のテイラー展開の意味と具体例
- ヤコビ行列，ヤコビアンの定義と極座標の例
- 微分方程式の階数，線形性などの意味と具体例
- 三次元極座標についての基本的な知識
- 勾配ベクトルの意味と例題
- ノルムの意味とL1，L2，L∞ノルム
- 直交多項式の意味と4つの有名な例
- 連鎖律（チェインルール）～多変数関数の合成関数の微分
- 重積分の計算方法と例題3問
- 収束半径の意味と求め方
- イプシロンデルタ論法とイプシロンエヌ論法
- 線形補間の計算式と近似誤差
- ガウスの発散定理・ストークスの定理の証明
- フーリエ変換の意味と応用例
- ディラックのデルタ関数
- limsup、liminfの意味（数列・集合の上極限・下極限）
- オイラー法をわかりやすく解説
- 積分と極限（無限和）の交換
- ベルヌーイ数とゼータ関数
- 最大値・最小値の定理
- 有界とは何か～上界・上限と下界・下限
- ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
- 距離空間～位相空間論に向けた開集合・閉集合の一般化
- 重積分の変数変換とヤコビアン
- 重積分を用いたバーゼル問題の美しい証明
- ワイエルシュトラスのペー関数
- Lp空間と様々な関数不等式～関数におけるヘルダーの不等式
- ルベーグの収束定理
- フビニの定理～重積分の計算について
- ワイエルシュトラスのM判定法
- ワイエルシュトラスのペー関数～証明編
- ルベーグ測度
- ルベーグ積分
- 位相空間論への第一歩～連続関数とは何なのか？ いくつかの重要な定義
- リーマン積分
- リーマン積分 VS ルベーグ積分
- フーリエ変換を用いた sinc 関数の積分
- フーリエ変換と畳み込み
- 重積分を用いたバーゼル問題の美しい証明 その2
- 位相空間論の基礎～コンパクト空間・点列コンパクト空間の意味
- フーリエ変換を用いた無限級数の計算
- 攻略！ ε-N/ε-δ 論法～その1～
- 攻略！ ε-N/ε-δ 論法～その2～
- 1/(x^4+1) の積分
- 三角関数と無理関数の合わさった積分（東大院2021より）
- ゼータ関数のオイラー積
- 攻略！ ε-N/ε-δ 論法～その3～
- 留数定理を用いたバーゼル問題の美しい証明
- コーシー列
- 位相空間論への第一歩～開集合・閉集合について
- 逆写像定理
- 陰関数定理
- 多様体入門1～定義と簡単な例
- 位相空間論の基礎～ハウスドルフ空間
- ノルム空間
- 線型汎関数と双対ベクトル空間
- 位相空間論への第一歩～近傍系について
- ガンマ関数とゼータ関数の解析接続
- ディガンマ関数
- 微分と極限の交換
- ガンマ関数の無限積表示と相反公式
- レルヒの公式
- 射影空間のハウスドルフ性・コンパクト性～商位相空間
- 多様体入門2～陰関数定理から定まる多様体
- 多様体入門3～多様体の間の写像の可微分性
- 多様体入門4～接ベクトル
- リー環入門～線型リー環・リー群との関係
- 攻略！ テイラー展開・マクローリン展開
- 攻略！ 二変数関数・多変数関数の極値判定
- レムニスケート周率とレムニスケート関数
- 二階偏微分の連鎖律（chain rule）
- ベータ関数の基本的な性質～ガンマ関数との関係・広義積分の収束
- 位相空間論の基礎～多項式写像を用いた開・閉集合の証明
- 位相空間論の基礎～連結空間・弧状連結空間の意味
【複素解析】
- オイラーの公式と複素指数関数
- 複素数の対数関数とiのi乗の主値が実数であること
- コーシーリーマンの関係式と微分可能性・正則関数
- コーシーの積分定理と積分経路の変形
- コーシーの積分公式とその応用～グルサの定理・モレラの定理
- ローラン展開の意味・計算方法・特異点の分類
- 複素積分の導入～複素線積分とその性質
- グリーンの定理
- 留数定理
- リュウビルの定理と代数学の基本定理
- 留数定理による対数・無理関数の積分
- リーマン球面と無限遠点
- 留数定理を用いた三角関数の積分
- 留数定理を用いた有理関数の積分
- リーマンの可除特異点定理
- 偏角の原理とルーシェの定理～方程式の解の個数について
- 最大値の原理とシュワルツの補題
- 一致の定理
- sin の無限乗積展開とワイエルシュトラスの因数分解定理
- 三角関数の部分分数分解
【グラフ理論】
- 隣接行列，接続行列，ラプラシアン行列
- 深さ優先探索と幅優先探索
- 強連結成分分解の意味とアルゴリズム
- デルタマトロイド
- Sperner の補題と Brouwer の不動点定理
- 行列木定理とCayleyの定理
【物理】
- 二次元極座標における運動方程式とその導出
- 地球の公転軌道が楕円であることの導出
- 球の慣性モーメントの2通りの求め方
- ナビエ-ストークス方程式の導出
- 微分方程式の解法(同次形・線形微分方程式)
- 連立微分方程式の3通りの解き方
- リッカチの微分方程式・ベルヌーイの微分方程式
- n階斉次線形微分方程式の解空間
- リプシッツ条件と微分方程式の解の一意性
- 微分方程式の例題（東大院2021から）
- ラプラス変換の定義と具体例・性質
【数学の勉強法】
【その他】
