大学数学レベルの記事一覧
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大学数学 の257記事をまとめました。くわしくは各リンク先を見てください。
確率・統計分野については大学数学レベルの記事一覧その2を参照して下さい。
【式の計算】
【方程式,恒等式】
【不等式】
【いろんな関数】
【平面図形】
【空間図形】
【座標,ベクトル】
【集合,命題,論証】
- 集合の濃度と可算無限・非可算無限
- 集合関数,劣モジュラ性とは
- 全称記号(任意の〜)と存在記号(ある〜)について
- カントールの定理の証明と対角線論法
- 同値関係といろいろな例
- ベルンシュタインの定理とその証明
- 群の剰余類とラグランジュの定理
- 直積(2つの集合の直積から無限個の場合まで)
【指数・対数関数】
【場合の数】
【微分】
【積分】
【二次曲線】
【線形代数】
- ヴァンデルモンド行列式の証明と応用例
- 行列式の基本的な定義・性質・意味
- バーコフ–フォン・ノイマンの定理
- クラメルの公式の具体例と証明
- 行列の固有値・固有ベクトルの定義と具体的な計算方法
- 行列の積の定義とその理由
- 逆行列の補助定理(Woodburyの恒等式)
- 転置行列の意味・重要な7つの性質と証明
- 次元定理の意味,具体例,証明
- マトロイドの定義と具体例
- 半正定値対称行列の意味と性質【固有値・二次形式・分解・小行列式】
- 対称行列の定義と性質~固有値と固有ベクトルの性質
- 固有多項式とケーリー・ハミルトンの定理
- 正規方程式の導出と計算例
- 行列の対角化の意味と具体的な計算方法
- 行列のトレースのいろいろな性質とその証明
- 逆行列の定義・逆行列を求める2通りの方法と例題
- ガウスの消去法(掃き出し法)による連立一次方程式の解き方
- 行列のランク(rank)の8通りの同値な定義・性質
- 同時対角化可能⇔交換可能の意味と証明
- ブロック行列の行列式,逆行列の公式と証明
- 直交行列の5つの定義と性質の証明
- 二次形式の意味,微分,標準形など
- 行列の基本変形の意味と応用(rank・行列式の計算)
- 行列のカーネル(核)の性質と求め方
- 特異値分解の定義,性質,具体例
- 行列のフロベニウスノルムとその性質
- 行列のパフィアン,パーマネント,ハフニアン
- 漸化式の特性方程式の意味とうまくいく理由
- ビネ・コーシーの定理とその証明
- ジョルダン標準形の意味と求め方
- 行列の指数関数とその性質
- 行列のn乗の求め方と例題
- 行列が正則であることの意味と5つの条件
- 上三角行列と下三角行列の意味と6つの定理
- アダマール行列の定義と性質
- 三重対角行列の特殊形の固有値は綺麗
- 行列の無限等比級数
- テンソルとは何か Part.1
- 交代行列の定義と性質
- テンソルとは何か Part.2
- 行列の指数関数の計算方法
- 巡回行列の固有値・固有ベクトルと行列式
- 射影行列のイメージと楽しい公式
- エルミート行列とその性質,ユニタリ対角化の証明
- ユニタリ行列の定義と性質の証明
- シルベスターの慣性法則の意味と証明
- 単位行列の意味と性質,1との比較
- 一般化逆行列(ムーア・ペンローズの疑似逆行列)
- 最小ノルム解の導出と図による理解
- 行列のQR分解と応用(固有値・最小二乗法)
- 正規行列の意味と3つの代表例
- 余因子と余因子行列
- 行列のスペクトル分解
- 内積の入ったベクトル空間~内積空間(計量ベクトル空間)
- 直交補空間の性質
- ノルム空間はいつ内積空間になるのか?~証明
- 攻略! 行列式計算~その2~
- 攻略! 行列式計算~その1:基本練習問題8パターン
- 攻略! 行列式計算~その3:固有値を活用した計算
- 岩澤分解
- 行列の最小多項式
- 行列の上三角化~グラム・シュミットの直交化法を用いて
- 基底の変換行列~定義と具体例
- 線型写像の表現行列とその例
- 随伴行列の定義・重要な性質
- 線型写像とその例~行列・一次変換など
- 商ベクトル空間
- 表現行列の観点から見た対角化
- 同時対角化の練習問題~院試の問題を通して
- 行列の固有空間とその性質
- 一般線型群・ユニタリ群・直交群
- 線型代数の有名事実~部分空間と次元の関係について
【代数,情報・暗号理論】
- 置換の基礎(互換・偶置換・奇置換・符号の意味)
- 情報量の意味と対数関数を使う理由
- 群の定義といろいろな具体例
- 差積の意味と置換の符号が定義できることの証明
- 有限体(ガロア体)の基本的な話
- 相互情報量の意味とエントロピーとの関係
- 環の定義とその具体例
- 環の基礎用語~準同型・部分環・イデアル~
- 写像・単射・全射
- ギリシアの三大作図問題
- 体の基礎用語~拡大体と拡大次数
- 部分群とその具体例
- 群の準同型と準同型定理
- 正規部分群と剰余群(商群)
- 群の生成元と元の位数
- 群論有名問題~指数有限の部分群は指数有限の正規部分群を持つ
- リー群入門~定義と線型リー群の例
- シローの定理とその応用
- 環の基礎用語~剰余環・準同型定理~
- 環の基礎用語~素イデアル・極大イデアル~
- 対称群と交代群の基本的な性質
【解析】
- 関数の連続性と一様連続性
- フレネル積分(sin x^2の積分)
- 多変数のガウス積分
- ガンマ関数(階乗の一般化)の定義と性質
- ディリクレ関数の定義と有名な3つの性質
- テイラーの定理とテイラー展開~例と証明
- 変数分離形の微分方程式の解法と例題
- 一般化二項定理とルートなどの近似
- 各点収束と一様収束の違いと具体例
- 絶対収束と条件収束の意味と具体例
- 放射性炭素年代測定法の原理と微分方程式
- sup(上限)とinf(下限)の意味,max・minとの違い
- C1級関数,Cn級関数などの意味と具体例
- ロルの定理,平均値の定理とその証明
- フーリエ級数展開の公式と意味
- 多変数関数の極値判定とヘッセ行列
- 複素数型のフーリエ級数展開とその導出
- 偏微分の順序交換の十分条件とその証明
- 二変数関数のテイラー展開の意味と具体例
- ヤコビ行列,ヤコビアンの定義と極座標の例
- 微分方程式の階数,線形性などの意味と具体例
- 三次元極座標についての基本的な知識
- 勾配ベクトルの意味と例題
- ノルムの意味とL1,L2,L∞ノルム
- 直交多項式の意味と4つの有名な例
- 連鎖律(チェインルール)~多変数関数の合成関数の微分
- 重積分の計算方法と例題3問
- 収束半径の意味と求め方
- イプシロンデルタ論法とイプシロンエヌ論法
- 線形補間の計算式と近似誤差
- ガウスの発散定理・ストークスの定理の証明
- フーリエ変換の意味と応用例
- ディラックのデルタ関数
- limsup、liminfの意味(数列・集合の上極限・下極限)
- オイラー法をわかりやすく解説
- 積分と極限(無限和)の交換
- ベルヌーイ数とゼータ関数
- 最大値・最小値の定理
- 有界とは何か~上界・上限と下界・下限
- ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理
- 距離空間~位相空間論に向けた開集合・閉集合の一般化
- 重積分の変数変換とヤコビアン
- 重積分を用いたバーゼル問題の美しい証明
- ワイエルシュトラスのペー関数
- Lp空間と様々な関数不等式~関数におけるヘルダーの不等式
- ルベーグの収束定理
- フビニの定理~重積分の計算について
- ワイエルシュトラスのM判定法
- ワイエルシュトラスのペー関数~証明編
- ルベーグ測度
- ルベーグ積分
- 位相空間論への第一歩~連続関数とは何なのか? いくつかの重要な定義
- リーマン積分
- リーマン積分 VS ルベーグ積分
- フーリエ変換を用いた sinc 関数の積分
- フーリエ変換と畳み込み
- 重積分を用いたバーゼル問題の美しい証明 その2
- 位相空間論の基礎~コンパクト空間・点列コンパクト空間の意味
- フーリエ変換を用いた無限級数の計算
- 攻略! ε-N/ε-δ 論法~その1~
- 攻略! ε-N/ε-δ 論法~その2~
- 1/(x^4+1) の積分
- 三角関数と無理関数の合わさった積分(東大院2021より)
- ゼータ関数のオイラー積
- 攻略! ε-N/ε-δ 論法~その3~
- 留数定理を用いたバーゼル問題の美しい証明
- コーシー列
- 位相空間論への第一歩~開集合・閉集合について
- 逆写像定理
- 陰関数定理
- 多様体入門1~定義と簡単な例
- 位相空間論の基礎~ハウスドルフ空間
- ノルム空間
- 線型汎関数と双対ベクトル空間
- 位相空間論への第一歩~近傍系について
- ガンマ関数とゼータ関数の解析接続
- ディガンマ関数
- 微分と極限の交換
- ガンマ関数の無限積表示と相反公式
- レルヒの公式
- 射影空間のハウスドルフ性・コンパクト性~商位相空間
- 多様体入門2~陰関数定理から定まる多様体
- 多様体入門3~多様体の間の写像の可微分性
- 多様体入門4~接ベクトル
- リー環入門~線型リー環・リー群との関係
- 攻略! テイラー展開・マクローリン展開
- 攻略! 二変数関数・多変数関数の極値判定
- レムニスケート周率とレムニスケート関数
- 二階偏微分の連鎖律(chain rule)
- ベータ関数の基本的な性質~ガンマ関数との関係・広義積分の収束
- 位相空間論の基礎~多項式写像を用いた開・閉集合の証明
- 位相空間論の基礎~連結空間・弧状連結空間の意味
【複素解析】
- オイラーの公式と複素指数関数
- 複素数の対数関数とiのi乗の主値が実数であること
- コーシーリーマンの関係式と微分可能性・正則関数
- コーシーの積分定理と積分経路の変形
- コーシーの積分公式とその応用~グルサの定理・モレラの定理
- ローラン展開の意味・計算方法・特異点の分類
- 複素積分の導入~複素線積分とその性質
- グリーンの定理
- 留数定理
- リュウビルの定理と代数学の基本定理
- 留数定理による対数・無理関数の積分
- リーマン球面と無限遠点
- 留数定理を用いた三角関数の積分
- 留数定理を用いた有理関数の積分
- リーマンの可除特異点定理
- 偏角の原理とルーシェの定理~方程式の解の個数について
- 最大値の原理とシュワルツの補題
- 一致の定理
- sin の無限乗積展開とワイエルシュトラスの因数分解定理
- 三角関数の部分分数分解
【グラフ理論】
- 隣接行列,接続行列,ラプラシアン行列
- 深さ優先探索と幅優先探索
- 強連結成分分解の意味とアルゴリズム
- デルタマトロイド
- Sperner の補題と Brouwer の不動点定理
- 行列木定理とCayleyの定理
【物理】
- 二次元極座標における運動方程式とその導出
- 地球の公転軌道が楕円であることの導出
- 球の慣性モーメントの2通りの求め方
- ナビエ-ストークス方程式の導出
- 微分方程式の解法(同次形・線形微分方程式)
- 連立微分方程式の3通りの解き方
- リッカチの微分方程式・ベルヌーイの微分方程式
- n階斉次線形微分方程式の解空間
- リプシッツ条件と微分方程式の解の一意性
- 微分方程式の例題(東大院2021から)
- ラプラス変換の定義と具体例・性質
【数学の勉強法】
【その他】