大学数学レベルの記事一覧

• 同値関係といろいろな例

• 写像・単射・全射

• 集合の濃度と可算無限・非可算無限

• ベルンシュタインの定理とその証明

• カントールの定理の証明と対角線論法

• 群の定義といろいろな具体例

• 群の生成元と元の位数

• 部分群とその具体例

• 群の剰余類とラグランジュの定理

• 正規部分群と剰余群（商群）

• 群の準同型と準同型定理

• 置換の基礎（互換・偶置換・奇置換・符号の意味）

• 差積の意味と置換の符号が定義できることの証明

• 環の定義とその具体例

• 環の基礎用語～準同型・部分環・イデアル～

• 有限体（ガロア体）の基本的な話

• 四元数と三次元空間における回転

• 終結式の定義といくつかの性質

• ヘビサイドの展開定理

• 超幾何級数の定義と例

基本的な用語

• 行列の積の定義とその理由

• 行列式の3つの定義と意味

• 漸化式の特性方程式の意味とうまくいく理由

• ベクトル空間と次元

• スカラー三重積とベクトル三重積

• 行列のランクの意味（8通りの同値な定義）

• 固有値，固有ベクトルの定義と具体的な計算方法

• 行列が正則であることの意味と5つの条件

• 逆行列の定義・逆行列を求める２通りの方法と例題

• 余因子と余因子行列

• 行列のトレースのいろいろな性質とその証明

• 固有多項式とケーリー・ハミルトンの定理

• 行列のフロベニウスノルムとその性質

• 二次形式の意味，微分，標準形など

• シルベスターの慣性法則の意味と証明

• 半正定値行列の同値な4つの定義（性質）と証明

• 行列のカーネル（核）の性質と求め方

• 次元定理の意味，具体例，証明

• テンソルとは何か Part.1

• テンソルとは何か Part.2

線形方程式

• 行列の基本変形の意味と応用（rank・行列式の計算）

• クラメルの公式の具体例と証明

• ガウスの消去法（掃き出し法）による連立一次方程式の解き方

• 正規方程式の導出と計算例

• 最小ノルム解の導出と図による理解

• 一般化逆行列（ムーア・ペンローズの疑似逆行列）

• 行列のQR分解と応用（固有値・最小二乗法）

対角化・べき乗

• 行列の対角化の意味と具体的な計算方法

• 行列のn乗の求め方と例題

• 同時対角化可能⇔交換可能の意味と証明

• 行列のスペクトル分解

• ジョルダン標準形の意味と求め方

• 行列の指数関数とその性質

• 行列の指数関数の計算方法

いろいろな行列

• 単位行列の意味と性質，1との比較

• 上三角行列と下三角行列の意味と6つの定理

• 転置行列の意味・重要な7つの性質と証明

• 対称行列の固有値と固有ベクトルの性質の証明

• 直交行列の5つの定義と性質の証明

• 交代行列の定義と性質

• ユニタリ行列の定義と性質の証明

• エルミート行列とその性質，ユニタリ対角化の証明

• 正規行列の意味と3つの代表例

• 射影行列のイメージと楽しい公式

• 巡回行列の固有値・固有ベクトルと行列式

• 三重対角行列の特殊形の固有値は綺麗

• ヴァンデルモンド行列式の証明と応用例

• アダマール行列の定義と性質

マニアック

• 行列木定理とCayleyの定理

• バーコフ–フォン・ノイマンの定理

• 逆行列の補助定理（Woodburyの恒等式）

• マトロイドの定義と具体例

• ブロック行列の行列式，逆行列の公式と証明

• 行列のパフィアン，パーマネント，ハフニアン

• ビネ・コーシーの定理とその証明

• アダマールの不等式

高校数学＋α

• オイラーの公式と複素指数関数

• e^xのマクローリン展開，三角関数との関係

• 複素数の対数関数とiのi乗の主値が実数であること

• ロルの定理，平均値の定理とその証明

• テイラーの定理とテイラー展開～例と証明

• 二変数関数のテイラー展開の意味と具体例

• 一般化二項定理とルートなどの近似

• ディリクレ関数の定義と有名な3つの性質

• 三次元極座標についての基本的な知識

• 直交多項式の意味と4つの有名な例

• 線形補間の計算式と近似誤差

収束・連続性・微分可能性

• イプシロンデルタ論法とイプシロンエヌ論法

• 関数の連続性と一様連続性

• 各点収束と一様収束の違いと具体例

• 絶対収束と条件収束の意味と具体例

• 収束半径の意味と求め方

• 有界とは何か～上界・上限と下界・下限

• コーシー列

• 距離空間～位相空間論に向けた開集合・閉集合の一般化

• コンパクト・点列コンパクトの意味

• ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理

• 偏微分の順序交換の十分条件とその証明

• C1級関数,Cn級関数などの意味と具体例

• sup（上限）とinfの意味，maxとの違い

• limsup、liminfの意味（数列・集合の上極限・下極限）

• ワイエルシュトラスのM判定法

多変数関数と微分

• 多変数関数の極値判定とヘッセ行列

• ヤコビ行列，ヤコビアンの定義と極座標の例

• 連鎖律（多変数関数の合成関数の微分）

• 勾配ベクトルの意味と例題

• ベクトルの微分

• 接平面の方程式の求め方

• 逆写像定理

• 陰関数定理

• 最大値・最小値の定理

積分

• 広義積分の意味といろいろな例

• ガンマ関数（階乗の一般化）の定義と性質

• n次元超球の体積の求め方と考察

• 多変数のガウス積分

• x^3/e^x-1の定積分

• フレネル積分（sin x^2の積分）

• 項別微分・項別積分

• 積分と極限（無限和）の交換

• ルベーグの収束定理

• 楕円の周の長さの求め方と近似公式

• 重積分の計算方法と例題3問

• フビニの定理～重積分の計算について

いろいろな関数

• ディラックのデルタ関数

• ワイエルシュトラスのペー関数

• 楕円曲線～フェルマーの最終定理・BSD予想・合同数問題と合わせて

• ベルヌーイ数とゼータ関数

ルベーグ積分

• ルベーグ測度

• ルベーグ積分

• リーマン積分 VS ルベーグ積分

フーリエ変換

• フーリエ級数展開の公式と意味

• 複素数型のフーリエ級数展開とその導出

• フーリエ変換の意味と応用例

• フーリエ変換を用いた無限級数の計算

• フーリエ変換と畳み込み

• フーリエ変換を用いた sinc 関数の積分

複素関数論

• コーシーリーマンの関係式と微分可能性・正則関数

• 複素積分の導入～複素線積分とその性質

• グリーンの定理

• コーシーの積分定理と積分経路の変形

• コーシーの積分公式とその応用～グルサの定理・モレラの定理

• ローラン展開の意味・計算方法・特異点の分類

• 留数定理

• 留数定理を用いた三角関数の積分

• 留数定理を用いた有理関数の積分

• 留数定理を用いた対数・無理関数の積分

• リュウビルの定理と代数学の基本定理

• リーマンの可除特異点定理

• リーマン球面と無限遠点

• 偏角の原理とルーシェの定理～方程式の解の個数について

• 三角関数の部分分数分解

• sin の無限乗積展開とワイエルシュトラスの因数分解定理

• 最大値の原理とシュワルツの補題

• 一致の定理

関数解析

• ノルム空間

• 内積の入ったベクトル空間～内積空間（計量ベクトル空間）

• Lp空間と様々な関数不等式～関数におけるヘルダーの不等式

• 微分方程式の階数，線形性などの意味と具体例

• 変数分離形の微分方程式の解法と例題

• 微分方程式の解法(同次形・線形微分方程式)

• リッカチの微分方程式・ベルヌーイの微分方程式

• 連立微分方程式の3通りの解き方

• オイラー法をわかりやすく解説

• リプシッツ条件と微分方程式の解の一意性

• n階斉次線形微分方程式の解空間

• 大学物理の内容と必要な数学の分野

• 二次元極座標における運動方程式とその導出

• 地球の公転軌道が楕円であることの導出

• 球の慣性モーメントの2通りの求め方

• 放射性炭素年代測定法の原理と微分方程式

• ガウスの発散定理・ストークスの定理の証明

• ナビエ-ストークス方程式の導出

• 数検1級の範囲と必要な公式まとめ

• 情報量の意味と対数関数を使う理由

• 相互情報量の意味とエントロピーとの関係

• コサイン類似度

• ソフトマックス関数

• 線形計画法の双対定理の意味と嬉しさ

• LP，QP，QCQP，SOCP，SDP

• 集合関数，劣モジュラ性とは

• 深さ優先探索と幅優先探索

• 強連結成分分解の意味とアルゴリズム

• Isolation Lemmaとその証明

• オーダー記法の定義と大雑把な意味

• argmax,argminの意味と例

• 全称記号（任意の〜）と存在記号（ある〜）

• ランプ関数（正規化線形関数）

• レビチビタ記号とその性質

• 凸包に関するカラテオドリの定理とその証明

• デルタマトロイド

• Sperner の補題と Brouwer の不動点定理