単位行列の意味と性質，1との比較

更新 2022/09/04

単位行列の定義

対角成分が $1$ で，それ以外の成分が $0$ である正方行列を単位行列と言う。

単位行列は，数の $1$ に似ています。以下では，数の $1$ と比較しながら単位行列の性質を見ていきます。

単位行列の2乗，べき乗

単位行列の性質1

$I^n=I$

つまり，単位行列 $I$ は何回かけても単位行列のまま。

$1$ も同じ性質を持っています。何回かけても $1$ のままですね。

性質1の確認

サイズ $2$ の場合に確認してみる。まず， $2$ 乗について，

$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

となることが確認できる。つまり $I^2=I$ である。これを繰り返し使うと $I^n=I$ である。

ちなみに， $A^2=A$ を満たす行列のことをべき等行列と言います。単位行列はべき等行列です。

単位行列を使って逆行列という重要な概念が定義されます。

逆行列の定義

正方行列 $A$ に対して， $AB=BA=I$ となる行列 $B$ のことを $A$ の逆行列と言う。

なお，実数 $a$ に対して， $ab=1$ となる実数 $b$ のことを $a$ の逆数と言います。やはり $1$ と単位行列 $I$ は似ていますね。

単位行列の性質2

単位行列 $I$ の逆行列は $I$

これは，単位行列の性質1からわかります。 $I\times I=I$ だからです。

「1の逆数は1」という性質と似ています。

また，性質2より単位行列は正則であることがわかります。→行列が正則であることの意味と5つの条件

私は $E$ よりも $I$ という記号を使います。