放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式

交点の $x$ 座標を計算すると，
$(x+2)-x^2=0$
$x^2-x-2=0$
$(x+1)(x-2)=0$
$x=-1,2$

よって，求める面積は

$\displaystyle\int_{-1}^2\{(x+2)-x^2\}dx\\ =-\displaystyle\int_{-1}^2(x+1)(x-2)dx$

ここで，1/6公式を使うと上式は $\dfrac{\{2-(-1)\}^3}{6}=\dfrac{9}{2}$

「放物線の式」ー「直線の式」= $a(x-\alpha)(x-\beta)$

と表せるので，放物線と直線で囲まれた部分の面積は， $$S=\left|\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)dx\right|$$ と表せる。絶対値の中身の積分は $\dfrac{1}{6}$ 公式より $-\dfrac{a}{6}(\beta-\alpha)^3$ となるので $S=\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$

$x-\alpha$ を基準にする手法を用いて $x$ ではなく $x-\alpha$ が基準になるように変形して積分を行う：

$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx\\ =\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)\{(x-\alpha)+(\alpha-\beta)\}dx\\ =\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\alpha)^2+(\alpha-\beta)(x-\alpha)\}dx\\ =\left[\dfrac{(x-\alpha)^3}{3}-(\beta-\alpha)\dfrac{(x-\alpha)^2}{2}\right]_{\alpha}^{\beta}\\ =-\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}$

となり，求める公式を得る。

1/6公式は，数学IIIで習う部分積分を使って証明することもできる。

$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx\\ =\left[\dfrac{(x-\alpha)^2}{2}(x-\beta)\right]_{\alpha}^{\beta}-\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{(x-\alpha)^2}{2}dx\\ =-\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}$