式の計算

1. $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

• 二重根号とは，$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ のように，ルートの中にルートが含まれる式。

• $\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
  のように，二重根号を外せる場合がある。

降べきの順とは，次数が下がって行くような式の表し方。
降べきの順で表した例： $x^3-x^2+4x+1$

昇べきの順とは，次数が上がって行くような式の表し方。
昇べきの順で表した例： $1+4x-x^2+x^3$

組立除法とは，多項式の割り算において商と余りをすばやく求める手法です。

循環小数とは，$0.22222\dots$ のように「途中からひたすら同じ列を繰り返す」ような小数のことです。

• 非負性 ： 必ず $0$ 以上である。 $|a|\geqq 0$
• 非退化性 : $a=0$ のときに，またそのときのみ $|a|=0$ になる。
• 偶性 ： 原点に関して対称である。 $|-a|=|a|$
• 劣加法性（三角不等式) ： $|a+b|\leqq|a|+|b|$
• 冪等性(べきとうせい) ： 操作を複数回繰り返しても結果が変わらない。 $||a||=|a|$
• 乗法性 : ある2数の積の絶対値と，その2数の絶対値の積は同じ値になる。 $|ab|=|a|・|b|$

交代式とは，どの2つの変数を入れ替えても $-1$ 倍になるような式のことです。例えば $a^2-b^2$ という式は，$a$ と $b$ を入れ替えると $b^2-a^2$ となり，元の式の $-1$ 倍になるので交代式です。

部分分数分解とは， $$\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x-2}$$ のように「いくつかの分数のたし算（または引き算）に分解する」こと。つまり，通分の逆。

$\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}\pm\sqrt{c}}$ の分母を有理化したいときは，分母分子に $\sqrt{a}+\sqrt{b}\mp\sqrt{c}$ をかけていつもの分母の有理化に帰着させる

1：全ての対称式は基本対称式の多項式で表せる。

2：特に，$x^n+y^n$ の値は $x+y$ と $xy$ の値が分かれば機械的に計算できる。

3：さらに，$x^n+\dfrac{1}{x^n}$ の値は $x+\dfrac{1}{x}$ の値が分かれば機械的に計算できる。

4：基本対称式は解と係数の関係と相性がよい。

対称式とは，どの2つの変数を交換しても変わらない多項式のことです。 例えば，$x^2+y^2$ という式で $x$ と $y$ を交換すると $y^2+x^2$ になります。$$x^2+y^2=y^2+x^2$$ なので多項式として変わっていません。よって $x^2+y^2$ は対称式です。

$\sqrt{2}$ は無理数である。

より一般に，平方数でない正の整数 $n$ に対して $\sqrt{n}$ は無理数である。

$\sqrt{a}$ の近似値の求め方の概要：

• $x^2≒a$ となりそうな簡単な $x$ を探す。
• $x^2 > a$ ならもう少し小さい $x$ で再挑戦。 $x^2 <a$ ならもう少し大きい $x$ で再挑戦。

任意の行列は対称行列と交代行列の和に分解できる

• パターン1-A：普通に因数定理が使える場合
• パターン1-B：二次式×二次式に分解できる場合
• パターン2：相反方程式
• パターン3：複二次式
• パターン4：方程式が解けない場合

対称式の展開した式に，$ka^2$ という項があれば $kb^2, kc^2$ という項もあります。 $ka^2b$ という項があれば $kab^2, kb^2c, kbc^2, kc^2a, kca^2$ もあります。

$n$ 個の変数 $x_1,\cdots,x_n$ について

$i$ 次の基本対称式を $e_i(x_1,\cdots,x_n)$

$i$ 乗和を $p_i(x_1,\cdots,x_n)=x_1^i+\cdots +x_n^i$

とする。このとき，

$ke_k=\displaystyle\sum_{i=1}^k(-1)^{i-1}e_{k-i}p_i$

• 階乗：$n!$ は $1$ から $n$ までの整数を全てかけあわせたもの

• 二重階乗：$n!!$ は一つおきにかけあわせたもの

• 超階乗：$n$$ は $n!$ の肩に $n!$ を $n!-1$ 個乗せたもの

足し算，かけ算，べき乗を一般化した ハイパー演算というものがある。