式の計算

    更新日時 2021/03/11

    因数分解公式(3つの立方和)

    有名な因数分解公式:

    a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)a^3+b^3+c^3-3abc\\ =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

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    因数分解公式(n乗の差,和)

    nn 乗の差の因数分解公式

    anbn=(ab)(an1+an2b++abn2+bn1)a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})

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    乗法公式(式の展開公式)19個まとめ

    乗法公式とは,

    (x+a)2=x2+2ax+a2(x+a)^2=x^2+2ax+a^2

    のように,式を展開するための公式のことです。

    乗法公式は展開公式とも呼ばれます。高校数学の最初のテーマです。

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    対称式を素早く正確に展開する3つのコツ

    難関大学の入試問題や数学オリンピックの不等式証明問題では複雑な対称式を計算しなければならない問題が出題されます。

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    行列・関数・多項式に共通する有名な性質

    このページでは,

    X=X+Y2+XY2X=\dfrac{X+Y}{2}+\dfrac{X-Y}{2}

    という等式を使ったおもしろい性質を3つ紹介します。

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    交代式の因数分解と実践的な例題

    交代式とは,どの2つの変数を入れ替えても 1-1 倍になるような式のことです。例えば a2b2a^2-b^2 という式は,aabb を入れ替えると b2a2b^2-a^2 となり,元の式の 1-1 倍になるので交代式です。

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    部分分数分解の3通りの方法

    部分分数分解とは,

    1(x2)(x5)=131x5131x2\dfrac{1}{(x-2)(x-5)}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{x-5}-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{x-2}

    のように「分母が因数分解されているような分数をいくつかの分数に分解する」こと。

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    四次式の因数分解の5パターン

    四次式の因数分解(または方程式を解く)に関する問題は以下の5パターンに分けることができます。

    パターン1ーA:普通に因数定理が使える場合

    パターン1ーB:二次式×二次式に分解できる場合

    パターン2:相反方程式

    パターン3:複二次式

    パターン4:方程式が解けない場合

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    分母の有理化や実数化について

    → 分母の有理化や実数化について

    分母に項が3つある場合の有理化

    1a+b±c\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}\pm\sqrt{c}} の分母を有理化したいときは分母分子に a+bc\sqrt{a}+\sqrt{b}\mp\sqrt{c} をかけていつもの分母の有理化に帰着させる

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    二重根号の外し方のパターンと外せないものの判定

    二重根号とは,5+26\sqrt{5+2\sqrt{6}} のように,ルートの中にルートが含まれているような式。

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    調和平均にまつわる重要な公式まとめ

    21a+1b\dfrac{2}{\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b}}aabb の調和平均と呼ぶ。

    調和平均について覚えておくべき性質を整理しました。

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    2変数の対称式と基本対称式の4つの性質

    変数を交換しても不変な多項式のことを対称式と言います。ここでは2変数の対称式を中心に,大学受験レベルで覚えておくべき性質を整理しました。

    → 2変数の対称式と基本対称式の4つの性質

    降べきの順と昇べきの順について

    降べきの順とは,次数が下がって行くような式の表し方。

    降べきの順で表した例 . x3x2+4x+1x^3-x^2+4x+1

    昇べきの順とは,次数が上がって行くような式の表し方。

    昇べきの順で表した例 . 1+4xx2+x31+4x-x^2+x^3

    この記事では, 降べきの順と昇べきの順の意味 や, どちらを使うべきなのか などについて解説します。

    → 降べきの順と昇べきの順について

    対称式について覚えておくべき7つの公式

    以前の記事で「全ての対称式は基本対称式で表せる」という一般的な性質を紹介しました。→2変数の対称式と基本対称式の4つの性質

    この記事では対称式を基本対称式で表すときに覚えておくべき具体例とコツについて解説します。

    → 対称式について覚えておくべき7つの公式

    交代和にまつわる数オリの問題

    1979年国際数学オリンピック第1問です:

    ppqq を自然数として,

    pq=112+1314+11318+11319\dfrac{p}{q}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots-\dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319}

    が成立するとき pp19791979 の倍数となることを証明せよ

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    組立除法のやり方と例題3問

    組立除法とは,多項式を一次式で割った商と余りを素早く求める手法です。組立除法では,足し算とかけ算を繰り返します。

    組立除法のやり方,原理(正しさの証明),例題を解説します。

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    原始多項式とその積について

    「原始多項式」という概念と関連する定理について解説します。

    → 原始多項式とその積について

    加比の理と傾きによる証明

    加比の理:

    ba=dc\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c} のとき,ba=b+da+c=dc\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+d}{a+c}=\dfrac{d}{c}

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    ルート2が無理数であることの4通りの証明

    2\sqrt{2} は無理数である。

    より一般に,平方数でない正の整数 nn に対して n\sqrt{n} は無理数である。

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    平方完成のやり方といくつかの発展形

    ax2+bx+c=a(xp)2+qax^2+bx+c=a(x-p)^2+q と変形することを平方完成と言う。

    二次方程式の解の公式の導出や,二次関数のグラフを描くときに使う重要な式変形の手法です。

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    多項式の割り算の二通りの計算方法と例題

    整式の除法:任意の多項式 A(x),B(x)A(x),B(x) に対して,

    - A(x)=B(x)Q(x)+R(x)A(x)=B(x)Q(x)+R(x)

    - degR(x)<degB(x)\deg R(x) <\deg B(x)

    を満たす多項式 Q(x)Q(x)R(x)R(x) がただ一つ定まる。 QQ を商,RR を余りと言う。

    注: xx についての多項式 R(x)R(x) の次数を degR(x)\deg R(x) などと書きます。

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    ルートの近似値を計算する素朴な方法とコツ

    ルートの近似値を求める素朴な方法,および計算の際のコツを解説します。

    → ルートの近似値を計算する素朴な方法とコツ

    ヘビサイドの展開定理

    ヘビサイドの展開定理について解説します。前半は部分分数分解の一般形,係数の求め方(頑張れば高校生でも理解可能),後半は逆ラプラス変換(大学数学)の話です。

    → ヘビサイドの展開定理

    対称式の基本定理の証明

    対称式の基本定理:

    対称式は基本対称式の多項式として表せる。その表し方は一通りである。

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    循環小数の意味と分数で表す方法など

    循環小数とは,0.222220.22222\dots のように「途中からひたすら同じ列を繰り返す」ような小数のことです。

    この記事では, 循環小数の意味循環小数を分数で表す方法 などについて詳しく解説します。

    → 循環小数の意味と分数で表す方法など

    整数部分と小数部分の意味と例題

    整数部分と小数部分の定義と定番の問題2問を解説します。

    → 整数部分と小数部分の意味と例題

    ルート2,ルート3,ルート5の覚え方など

    ルート2,ルート3,ルート5,ルート6,ルート7の覚え方(語呂合わせ)と関連する話題について。

    → ルート2,ルート3,ルート5の覚え方など

    ニュートンの恒等式とその証明

    nn 個の変数 x1,,xnx_1,\cdots,x_n について

    ii 次の基本対称式を ei(x1,,xn)e_i(x_1,\cdots,x_n)

    ii 乗和を pi(x1,,xn)=x1i++xnip_i(x_1,\cdots,x_n)=x_1^i+\cdots +x_n^i

    とする。このとき,

    kek=i=1k(1)i1ekipike_k=\displaystyle\sum_{i=1}^k(-1)^{i-1}e_{k-i}p_i

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    開平法のやり方と原理

    筆算を用いてルートを計算する方法を解説します。

    → 開平法のやり方と原理

    単項式,多項式,整式

    単項式,多項式,整式という用語について。および,多項式と間違えやすいけど多項式でないものについて。

    → 単項式,多項式,整式

    複素数の範囲での因数分解の例題4問

    与えられた多項式を「○○の範囲で因数分解する」とは,○○係数の多項式の積に(できるだけ細かく)分解するという意味。

    (○○には複素数,整数,有理数,実数などが入る)

    因数分解の問題で特に指示がない場合は「整数の範囲で」因数分解すればOKですが,この記事では複素数の範囲での因数分解について考えます。

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    分母の有理化の方法と例題6問

    分母にルートや累乗根が入った式を有理化する方法,および例題を解説します。

    → 分母の有理化の方法と例題6問

    階乗,二重階乗,超階乗

    • 階乗:n!n!11 から nn までの整数を全てかけあわせたもの

    • 二重階乗:n!!n!! は一つおきにかけあわせたもの

    • 超階乗:nnn!n! の肩に n!n!n!1n!-1 個乗せたもの

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    ハイパー演算子とクヌースの矢印

    足し算,かけ算,べき乗を一般化した ハイパー演算というものがある。

    → ハイパー演算子とクヌースの矢印

    たすきがけによる因数分解は覚えなくてもいい

    たすきがけによる因数分解のやり方を復習した後,たすきがけを用いない方法を解説します。

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    単項式・多項式や次数・係数などの定義と問題例

    数や文字の乗法のみを用いて表せる式を単項式という。

    単項式の和の形で表せる式を多項式という。

    単項式,多項式という言葉を数学でよく見かけると思います。この記事では,これらの用語の定義を確認します。理解を深めるための問題も解説します。

    → 単項式・多項式や次数・係数などの定義と問題例

    絶対値の意味と性質・絶対値を含む式の計算方法

    実数 xx に対して「符号(プラスマイナス)を除いたもの」を絶対値といい,x|x| と表す。

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    「分数の分数」の形をした繁分数・連分数

    分数の分母や分子に分数があるものを繁分数という。

    また,以下のような形の数を連分数という。 a0+b1a1+b2a2+b3a3+ a_0 + \dfrac{b_1}{a_1 + \dfrac{b_2}{a_2 + \dfrac{b_3}{a_3 + \cdots}}}

    「分数分の分数」という形をした数に関連する話題をいくつか紹介します。

    → 「分数の分数」の形をした繁分数・連分数