式の計算

有名な因数分解公式：

$a^3+b^3+c^3-3abc\\ =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$n$ 乗の差の因数分解公式

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$

交代式とは，どの2つの変数を入れ替えても $-1$ 倍になるような式のことです。例えば $a^2-b^2$ という式は，$a$ と $b$ を入れ替えると $b^2-a^2$ となり，元の式の $-1$ 倍になるので交代式です。

部分分数分解とは，

$\dfrac{1}{(x-2)(x-5)}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{x-5}-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{x-2}$

のように「分母が因数分解されているような分数をいくつかの分数に分解する」こと。

パターン1ーA：普通に因数定理が使える場合

パターン1ーB：二次式×二次式に分解できる場合

パターン2：相反方程式

パターン3：複二次式

パターン4：方程式が解けない場合

$\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}\pm\sqrt{c}}$ の分母を有理化したいときは分母分子に $\sqrt{a}+\sqrt{b}\mp\sqrt{c}$ をかけていつもの分母の有理化に帰着させる

二重根号とは，$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ のように，ルートの中にルートが含まれているような式。

$\dfrac{2}{\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b}}$ を $a$ と $b$ の調和平均と呼ぶ。

降べきの順とは，次数が下がって行くような式の表し方。

降べきの順で表した例 . $x^3-x^2+4x+1$

昇べきの順とは，次数が上がって行くような式の表し方。

昇べきの順で表した例 . $1+4x-x^2+x^3$

$p$ と $q$ を自然数として，

$\dfrac{p}{q}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots-\dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319}$

が成立するとき $p$ は $1979$ の倍数となることを証明せよ

組立除法とは，多項式を一次式で割った商と余りを素早く求める手法です。組立除法では，足し算とかけ算を繰り返します。

加比の理：

$\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$ のとき，$\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+d}{a+c}=\dfrac{d}{c}$

$\sqrt{2}$ は無理数である。

より一般に，平方数でない正の整数 $n$ に対して $\sqrt{n}$ は無理数である。

$ax^2+bx+c=a(x-p)^2+q$ と変形することを平方完成と言う。

整式の除法：任意の多項式 $A(x),B(x)$ に対して，

- $A(x)=B(x)Q(x)+R(x)$

- $\deg R(x) <\deg B(x)$

を満たす多項式 $Q(x)$ ，$R(x)$ がただ一つ定まる。 $Q$ を商，$R$ を余りと言う。

対称式の基本定理：

対称式は基本対称式の多項式として表せる。その表し方は一通りである。

循環小数とは，$0.22222\dots$ のように「途中からひたすら同じ列を繰り返す」ような小数のことです。

$n$ 個の変数 $x_1,\cdots,x_n$ について

$i$ 次の基本対称式を $e_i(x_1,\cdots,x_n)$

$i$ 乗和を $p_i(x_1,\cdots,x_n)=x_1^i+\cdots +x_n^i$

とする。このとき，

$ke_k=\displaystyle\sum_{i=1}^k(-1)^{i-1}e_{k-i}p_i$

与えられた多項式を「○○の範囲で因数分解する」とは，○○係数の多項式の積に（できるだけ細かく）分解するという意味。

（○○には複素数，整数，有理数，実数などが入る）

• 階乗：$n!$ は $1$ から $n$ までの整数を全てかけあわせたもの

• 二重階乗：$n!!$ は一つおきにかけあわせたもの

• 超階乗：$n$ は $n!$ の肩に $n!$ を $n!-1$ 個乗せたもの

足し算，かけ算，べき乗を一般化した ハイパー演算というものがある。

数や文字の乗法のみを用いて表せる式を単項式という。

単項式の和の形で表せる式を多項式という。

実数 $x$ に対して「符号（プラスマイナス）を除いたもの」を絶対値といい，$|x|$ と表す。

分数の分母や分子に分数があるものを繁分数という。

また，以下のような形の数を連分数という。 $$a_0 + \dfrac{b_1}{a_1 + \dfrac{b_2}{a_2 + \dfrac{b_3}{a_3 + \cdots}}}$$