階乗，二重階乗，超階乗

更新 2023/08/26

階乗： $n!$ は $1$ から $n$ までの整数を全てかけあわせたもの
二重階乗： $n!!$ は一つおきにかけあわせたもの
超階乗： $n$ $ は $n!$ の肩に $n!$ を $n!-1$ 個乗せたもの

階乗とは

階乗の定義と記号正の整数 nnn に対して，111 から nnn までの整数を全てかけあわせたものを nnn の階乗（かいじょう，英語ではファクトリアルfactorial）と言い，n!n!n! で表します。
階乗を表す記号は !（エクスクラメーションマーク）です。
例
1!=11!=11!=1
2!=2×1=22!=2\times 1=22!=2×1=2
3!=3×2×1=63!=3\times 2\times 1=63!=3×2×1=6
4!=4×3×2×1=244!=4\times 3\times 2\times 1=244!=4×3×2×1=24
0の階乗0の階乗は，0!=10!=10!=1と定義します。
この理由については，→0の階乗を1と定義する理由 をご覧ください。
階乗を含む分数の計算次は，階乗を含む分数についてです。
例
5!2!=5×4×3×2×12×1=5×4×3=60\dfrac{5!}{2!} = \dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3=602!5!​=2×15×4×3×2×1​=5×4×3=60
12!8!=12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×18×7×6×5×4×3×2×1=12×11×10×9=11880\dfrac{12!}{8!}=\dfrac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}\\=12 \times 11 \times 10 \times 9 \\
= 118808!12!​=8×7×6×5×4×3×2×112×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1​=12×11×10×9=11880
多くの項が通分できるという意識を持っておくと良いです。
順列や組み合わせの問題でよく使う計算です。順列・組み合わせについては，以下の記事をご覧ください。
順列と組合せの違いと例題
円順列の公式と2通りの考え方
攪乱順列（完全順列）の個数を求める公式
ガンマ関数（階乗の一般化）また，高校範囲外ですが，正の整数でない値に対しても階乗のようなものを考えることができます。→ガンマ関数（階乗の一般化）の定義と性質
n!n!n! は nnn よりもはるかに大きい（指数関数よりも強い！）ということを意識しておきましょう。

二重階乗とは

階乗の一つ飛ばしバージョンを二重階乗と言います。n!!n!!n!! と書きます。
以下のように計算します。
例
3!!=3×1=33!!=3\times 1=33!!=3×1=3
4!!=4×2=84!!=4\times 2=84!!=4×2=8
5!!=5×3×1=155!!=5\times 3\times 1=155!!=5×3×1=15
6!!=6×4×2=486!!=6\times 4\times 2=486!!=6×4×2=48
上の例を見るとわかるように，奇数の二乗階乗は，その奇数以下の全ての奇数を掛け合わせたものです。
偶数の二乗階乗は，その偶数以下の全ての偶数を掛け合わせたものです。
二重階乗は，ウォリス積分～sinのn乗，cosのn乗の積分公式やウォリスの公式とその2通りの証明に登場します。

二重階乗を階乗で表す公式

二乗階乗は，階乗を用いて表すことができます。

$k$ を正の整数とします。

二乗階乗を階乗で表す

$(2k)!!=2^kk!$

$(2k-1)!!=\dfrac{(2k)!}{2^kk!}$

証明

$(2k)!!=2k\times (2k-2)\times \cdots \times 2$

右辺は全て偶数なので $2$ がくくり出せるので上式は，

$2^k \times k\times (k-1)\times \cdots \times 1=2^kk!$

となる。

また， $(2k-1)!!\times (2k)!!=(2k)!$ なので，

$(2k-1)!!=\dfrac{(2k)!}{2^kk!}$

超階乗とは

$n!$ の肩に $n!$ を $n!-1$ 個乗せたものを $n$ の超階乗と言い， $n$ $ で表します。

例

$1$ $ $=1$

$2$ $ $=(2!)^{(2!)}=4$

$3$ $ $=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}$

$3$ $ は（少なくとも私には）計算できないくらい大きい量です。 $4$ $ は $24$ が $24$ 個並ぶとんでもない量です。

超階乗，いったい何に使うんでしょうか??

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！