ウォリスの公式の別証
sin の無限乗積展開を用いた証明
以下の方法は形式的で厳密には複素関数論を必要としますが,面白い方法なので紹介しておきます。
説明
sinx
は
x=0,±π,±2π⋯
で
0
となるので,因数定理をイメージすると,
sinx=Ax(1−πx)(1+πx)(1−2πx)(1+2πx)⋯
と表される(A は定数)。
また,x→0limxsinx=1
より,A=1
が分かる。
よって,上式に x=2π
を代入すると,
1=sin2π=2π(1−221)(1−421)(1−621)⋯=2π221⋅3423⋅5625⋅7⋯
となりウォリスの公式を得る。
sin の無限乗積展開はバーゼル問題の証明に用いることもできます。
ガンマ関数を用いた証明
ガンマ関数 を用いて証明をすることもできます。
証明
ガンマ関数について
Γ(x)=n→∞lim∫0ntx−1(1−nt)ndt
が成り立つ。(→ガンマ関数 性質4の証明を参照)
t=nu と置換すると
∫0ntx−1(1−nt)ndt=nx∫01ux−1(1−u)ndu
となる。
ベータ関数の積分公式 とガンマ関数の性質を用いると
∫01ux−1(1−u)ndu=Γ(x+n+1)Γ(x)Γ(n+1)=x(x+1)⋯(x+n)n!
を得る。
さて,今 x=21 とすると Γ(x)=π であるため
π=n→∞lim21⋅23⋯22n+1n21n!=n→∞lim(2n+1)!!n212n+1n!=n→∞lim(2n+1)!!2n21(2n)!!
左辺の lim の中を二乗することで
((2n+1)!!2n21(2n)!!)2=2n+14nk=1∏n(2k−1)(2k+1)(2k)2
である。
よって,
n=1∏∞(2n−1)(2n+1)(2n)2=n→∞limk=1∏n(2k−1)(2k+1)(2k)2=n→∞lim2n2n+12π=2π
を得る。