ウォリスの公式とその3通りの証明

$I_n=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx$ とおく。

$0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ では $\sin x \geq 0$ より，$I_{2n+2} <I_{2n+1} <I_{2n}$

また，部分積分を用いることで，$I_{2n}$ たちが以下のように計算できる（ウォリス積分と呼ばれる有名な公式。詳細はウォリス積分～sinのn乗，cosのn乗の積分公式を参照）：

• $I_{2n+2}=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}$
• $I_{2n+1}=\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$
• $I_{2n}=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$

これらを赤字の式に代入すると，

$\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!} <\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!} <\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$

ここで，ウォリスの公式の左辺に出てくる $\dfrac{\{(2n)!!\}^2}{(2n-1)!!(2n+1)!!}$ を登場させるために各辺に $\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!}$ をかける

$\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{2n+1}{2n+2} <\dfrac{\{(2n)!!\}^2}{(2n-1)!!(2n+1)!!}　< \dfrac{\pi}{2}$

よって，$n \to \infty$ とするとはさみ打ちの原理よりウォリスの公式を得る。

$\sin x$ は $x=0,\pm \pi,\pm 2\pi\cdots$ で $0$ となるので，因数定理をイメージすると， $$\sin x=Ax \left( 1-\dfrac{x}{\pi} \right) \left( 1+\dfrac{x}{\pi} \right) \left( 1-\dfrac{x}{2\pi} \right) \left( 1+\dfrac{x}{2\pi} \right) \cdots$$ と表されると期待できる（$A$ は定数）。

また，$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ より，$A=1$ が分かる。

よって，上式に $x=\dfrac{\pi}{2}$ を代入すると，

$$\begin{aligned} 1&=\sin \dfrac{\pi}{2}\\ &=\dfrac{\pi}{2}\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{ 6^2}\right)\cdots\\ &=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{1\cdot 3}{2^2}\dfrac{3\cdot 5}{4^2}\dfrac{5\cdot 7}{6^2}\cdots \end{aligned}$$

となりウォリスの公式を得る。

ガンマ関数について $$\Gamma(x) = \lim_{n\to\infty} \int_0^n t^{x-1} \left(1-\dfrac{t}{n}\right)^{n}dt$$ が成り立つ。（→ガンマ関数 性質4の証明を参照）

定積分の部分について，$t = nu$ と置換すると $$\int_0^n t^{x-1} \left(1-\dfrac{t}{n}\right)^{n}dt = n^{x} \int_0^1 u^{x-1} (1-u)^n du$$ となる。

ベータ関数の積分公式 とガンマ関数の性質を用いると

$$\begin{aligned} \int_0^1 u^{x-1} (1-u)^n du &= \dfrac{\Gamma (x) \Gamma (n+1)}{\Gamma (x+n+1)}\\ &= \dfrac{n!}{x (x+1) \cdots (x+n)} \end{aligned}$$ を得る。

さて，今 $x = \dfrac{1}{2}$ とすると $\Gamma (x) = \sqrt{\pi}$ であるため $$\begin{aligned} \sqrt{\pi} &= \lim_{n\to\infty} \dfrac{n^{\frac{1}{2}} n!}{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2} \cdots \dfrac{2n+1}{2}}\\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^{\frac{1}{2}} 2^{n+1} n!}{(2n+1)!!}\\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{2 n^{\frac{1}{2}} (2n)!!}{(2n+1)!!}\\ \end{aligned}$$

右辺の $\lim$ の中を二乗することで $$\begin{aligned} \left( \dfrac{2 n^{\frac{1}{2}} (2n)!!}{(2n+1)!!} \right)^2 &= \dfrac{4n}{2n+1} \prod_{k=1}^n \dfrac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)} \end{aligned}$$ である。

よって， $$\begin{aligned} \prod_{n=1}^{\infty} \dfrac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} &= \lim_{n \to \infty} \prod_{k=1}^n \dfrac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}\\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{2n+1}{2n} \dfrac{\pi}{2}\\ &= \dfrac{\pi}{2} \end{aligned}$$ を得る。