ウォリスの公式とその2通りの証明

$I_n=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx$ とおく。

$0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ では $\sin x \geq 0$ より，$I_{2n+2} <I_{2n+1} <I_{2n}$

また，部分積分を用いることで，$I_{2n}$ たちが以下のように計算できる（ウォリス積分と呼ばれる有名な公式。詳細はsinのn乗，cosのn乗の積分公式を参照）：

• $I_{2n+2}=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}$
• $I_{2n+1}=\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$
• $I_{2n}=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$

これらを赤字の式に代入すると，

$\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!} <\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!} <\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$

ここで，ウォリスの公式の左辺に出てくる $\dfrac{\{(2n)!!\}^2}{(2n-1)!!(2n+1)!!}$ を登場させるために各辺に $\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!}$ をかける

$\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{2n+1}{2n+2} <\dfrac{\{(2n)!!\}^2}{(2n-1)!!(2n+1)!!}　< \dfrac{\pi}{2}$

よって，$n \to \infty$ とするとはさみ打ちの原理よりウォリスの公式を得る。

$\sin x$ は $x=0,\pm \pi,\pm 2\pi\cdots$ で $0$ となるので，因数定理っぽいものが使えて，

$\sin x=Ax(1-\dfrac{x}{\pi})(1+\dfrac{x}{\pi})(1-\dfrac{x}{2\pi})(1+\dfrac{x}{2\pi})(1-\dfrac{x}{3\pi})(1+\dfrac{x}{3\pi})\cdots$

と表せる（$A$ は定数）。

また，$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ より，$A=1$ が分かる。

よって，上式に $x=\dfrac{\pi}{2}$ を代入すると，

$1=\sin \dfrac{\pi}{2}\\ =\dfrac{\pi}{2}\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{ 6^2}\right)\cdots\\ =\dfrac{\pi}{2}\dfrac{1\cdot 3}{2^2}\dfrac{3\cdot 5}{4^2}\dfrac{5\cdot 7}{6^2}\cdots$

となりウォリスの公式を得る。