ウォリスの公式とその2通りの証明
つまり,
ウォリスの公式は,美しい無限積の公式です。
ウォリスの公式の意味
ウォリスの公式の証明
ウォリスの公式の別証
ウォリスの公式の応用
ウォリスの公式の意味
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は, から順々に無限にかけ算していく(無限積)という意味です。
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ウォリスの公式の左辺 を書き下してみると, となります。この値を計算すると円周率が登場するというのは不思議です。
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二重階乗(階乗の1つ飛ばしバージョン を使うと,ウォリスの公式の左辺は と書くこともできます。ただし, は から までの偶数の積です。 は から までの奇数の積です。この表し方は,後ほど証明で使います。
ウォリスの公式の証明
左辺では1個飛ばしの自然数の積が登場します。そこで,似たような形が出現する の 乗の積分を用います(これを自力で思いつくのはかなり厳しい)。
とおく。
から では より,
また,部分積分を用いることで, たちが以下のように計算できる(ウォリス積分と呼ばれる有名な公式。詳細はsinのn乗,cosのn乗の積分公式を参照):
これらを赤字の式に代入すると,
ここで,ウォリスの公式の左辺に出てくる を登場させるために各辺に をかける
よって, とするとはさみ打ちの原理よりウォリスの公式を得る。
ウォリスの公式の別証
以下の方法は形式的で厳密には複素関数論を必要としますが,面白い方法なので紹介しておきます。
は で となるので,因数定理っぽいものが使えて,
と表せる( は定数)。
また, より, が分かる。
よって,上式に を代入すると,
となりウォリスの公式を得る。
ウォリスの公式の応用
- ウォリスの公式を用いて,似たような無限積の公式をいくつか導けます。高校数学で無限積を扱う問題はあまり出題されませんが,もし出題されたら(されていたら)その多くはウォリスの公式に関係したものでしょう。
- ウォリスの公式は,スターリングの公式: の証明にも用いられます。 →スターリングの公式の証明
「Wallis の公式」声に出して言いたい数学用語です。
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