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ウォリスの公式とその2通りの証明

更新日時 2021/03/07
ウォリスの公式

n=1(2n)2(2n1)(2n+1)=π2\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\dfrac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{\pi}{2}

ウォリスの公式は,美しい無限積の公式です。

目次
  • ウォリスの公式の意味

  • ウォリスの公式の証明

  • ウォリスの公式の別証

  • ウォリスの公式の応用

ウォリスの公式の意味

  • n=1\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} は,n=1n=1 から順々に無限にかけ算していく(無限積)という意味です。

  • ウォリスの公式の左辺 n=1(2n)2(2n1)(2n+1)\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\dfrac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} を書き下してみると, 2213×4435×6657×\dfrac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\times\dfrac{4\cdot 4}{3\cdot 5}\times\dfrac{6\cdot 6}{5\cdot 7}\times\cdots となります。この値を計算すると円周率が登場するというのは不思議です。

  • 二重階乗(階乗の1つ飛ばしバージョン を使うと,ウォリスの公式の左辺は limn({2n}!!)2(2n1)!!(2n+1)!!\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{(\{2n\}!!)^2}{(2n-1)!!(2n+1)!!} と書くこともできます。(2n)!!(2n)!!22 から 2n2n までの偶数の積です。(2n1)!!(2n-1)!!11 から 2n12n-1 までの奇数の積です。この表し方は,後ほど証明で使います。

ウォリスの公式の証明

方針

左辺では1個飛ばしの自然数の積が登場します。そこで,似たような形が出現する sin\sinnn 乗の積分を用います(これを自力で思いつくのはかなり厳しい)。

証明

In=0π2sinnxdxI_n=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx とおく。

00 から π2\dfrac{\pi}{2} では sinx0\sin x \geq 0 より,I2n+2<I2n+1<I2nI_{2n+2} <I_{2n+1} <I_{2n}

また,部分積分を用いることで,I2nI_{2n} たちが以下のように計算できる(有名な公式。詳細はsinのn乗,cosのn乗の積分公式を参照):

  • I2n+2=π2(2n+1)!!(2n+2)!!I_{2n+2}=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}
  • I2n+1=(2n)!!(2n+1)!!I_{2n+1}=\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}
  • I2n=π2(2n1)!!(2n)!!I_{2n}=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}

これらを赤字の式に代入すると,

π2(2n+1)!!(2n+2)!!<(2n)!!(2n+1)!!<π2(2n1)!!(2n)!!\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!} <\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!} <\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}

ここで,ウォリスの公式の左辺に出てくる {(2n)!!}2(2n1)!!(2n+1)!!\dfrac{\{(2n)!!\}^2}{(2n-1)!!(2n+1)!!} を登場させるために各辺に (2n)!!(2n1)!!\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!} をかける

π22n+12n+2<{(2n)!!}2(2n1)!!(2n+1)!! <π2\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{2n+1}{2n+2} <\dfrac{\{(2n)!!\}^2}{(2n-1)!!(2n+1)!!} < \dfrac{\pi}{2}

よって,nn \to \infty とするとはさみ打ちの原理よりウォリスの公式を得る。

ウォリスの公式の別証

以下の方法は形式的で厳密には複素関数論を必要としますが,面白い方法なので紹介しておきます。

説明

sinx\sin xx=0,±π,±2πx=0,\pm \pi,\pm 2\pi\cdots00 となるので,因数定理っぽいものが使えて,

sinx=Ax(1xπ)(1+xπ)(1x2π)(1+x2π)(1x3π)(1+x3π)\sin x=Ax(1-\dfrac{x}{\pi})(1+\dfrac{x}{\pi})(1-\dfrac{x}{2\pi})(1+\dfrac{x}{2\pi})(1-\dfrac{x}{3\pi})(1+\dfrac{x}{3\pi})\cdots

と表せる(AA は定数)。

また,limx0sinxx=1\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 より,A=1A=1 が分かる。

よって,上式に x=π2x=\dfrac{\pi}{2} を代入すると,

1=sinπ2=π2(1122)(1142)(1162)=π21322354257621=\sin \dfrac{\pi}{2}\\ =\dfrac{\pi}{2}\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{ 6^2}\right)\cdots\\ =\dfrac{\pi}{2}\dfrac{1\cdot 3}{2^2}\dfrac{3\cdot 5}{4^2}\dfrac{5\cdot 7}{6^2}\cdots

となりウォリスの公式を得る。

ウォリスの公式の応用

  • ウォリスの公式を用いて似たようないくつかの無限積の公式を導くことができます。高校数学で無限積を扱う問題はあまり出題されませんが,もし出題されたら(されていたら)その多くはウォリスの公式に関係したものでしょう。
  • ウォリスの公式は,スターリングの公式:n!2πn(ne)nn!\fallingdotseq\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n の証明にも用いられます。 →スターリングの公式の証明

「Wallis の公式」声に出して言いたい数学用語です。

Tag:無限和,無限積の美しい公式まとめ

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