平面図形

    更新日時 2021/03/11

    外接円の半径と三角形の面積の関係(S=4R/abc)

    三辺の長さが a,b,ca,\:b,\:c の三角形の外接円の半径を RR , 面積を SS とおくとき以下の美しい関係が成立する。

    S=abc4RS=\dfrac{abc}{4R}

    検算に使える公式なので,受験生は覚えておくとよいでしょう。

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    ヘロンの公式の証明と使用例

    ヘロンの公式とは,三角形の3辺の長さから面積を求めるための公式です。

    ヘロンの公式

    3辺の長さが a,b,ca, b, c の三角形の面積 SS は,

    s=a+b+c2s=\dfrac{a+b+c}{2}

    と置くと,

    S=s(sa)(sb)(sc)S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

    で計算できる。この公式をヘロンの公式と言う。

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    オイラーの定理とその証明〜外心と内心の距離を求める〜

    内心と外心の距離を求める公式です。

    内接円の半径を rr ,外接円の半径を RR とおくとき,外心 OO と内心 II との距離 dd は以下の式で表される:

    d2=R22Rrd^2=R^2-2Rr

    非常に美しい定理です。

    → オイラーの定理とその証明〜外心と内心の距離を求める〜

    トレミーの定理とその2通りの証明,応用例

    トレミーの定理:円に内接する四角形 ABCDABCD において, AB×CDAD×BCAC×BDAB×CD+AD×BC=AC×BD

    トレミーの定理

    非常に美しい定理で応用も広いです。

    大学入試問題では,検算に用いる場合が多いです。

    この記事ではトレミーの定理の2通りの証明と,トレミーの定理の応用例を3つ紹介します。まずは応用例から!

    → トレミーの定理とその2通りの証明,応用例

    ブラーマグプタの公式とその2通りの証明

    ブラーマグプタの公式:

    円に内接する四角形 ABCDABCD において AB=a,BC=b,CD=c,DA=dAB=a, BC=b, CD=c, DA=d とおくと,四角形 ABCDABCD の面積は,

    S=(sa)(sb)(sc)(sd)S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

    ただし, s=a+b+c+d2s=\dfrac{a+b+c+d}{2} とおいた。

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    ブレートシュナイダーの公式

    一般的な四角形の面積を求める公式(ブラーマグプタの公式の一般化)。

    ブレートシュナイダーの公式:

    四角形 ABCDABCD において,AB=a,BC=b,CD=c,DA=dAB=a, BC=b, CD=c, DA=d , BAD+BCD=θ∠BAD+∠BCD=θ とおくと,

    四角形の ABCDABCD の面積 SS は,

    S=(sa)(sb)(sc)(sd)abcdcos2(θ2)S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2(\frac{\theta}{2})}

    ただし,s=a+b+c+d2s=\dfrac{a+b+c+d}{2} とおいた。

    四角形が円に内接する場合 θ=180\theta=180^\circ より,ブレートシュナイダーの公式はブラーマグプタの公式と一致します。

    → ブレートシュナイダーの公式

    三角形の五心の覚えておくべき性質を整理

    三角形の五心は有名ですが非常に豊かな性質を持っており,数学オリンピックの初等幾何の証明問題では超頻出です。三角形の五心の定義と重要な性質をまとめておきます。

    → 三角形の五心の覚えておくべき性質を整理

    内心と傍心の性質の比較

    傍心に関する性質は内心に関する性質とほとんど同じ。

    傍心,傍接円に関して迷ったらまずは内心,内接円を考えるとよい。

    → 内心と傍心の性質の比較

    三角形のフェルマー点の3通りの証明

    最大角が 120120^{\circ} 未満の三角形 ABCABC においてはフェルマー点は三角形の内部に存在して, AFB=BFC=CFA=120\angle AFB=\angle BFC=\angle CFA=120^{\circ}

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    フランク・モーリーの定理の証明

    morley

    フランクモーリーの定理:

    任意の三角形 ABCABC に対して,3つの角の三等分線どうしが最初にぶつかる点を P,Q,RP, Q, R とおくとき三角形 PQRPQR は正三角形である。

    → フランク・モーリーの定理の証明

    角の二等分線に関する重要な3つの公式

     二等分線の公式

    三角形 ABCABC において,A\angle A の二等分線と辺 BCBC の交点を DD とおく。

    AB=a,AC=b,BD=d,AB=a, AC=b, BD=d,

    DC=e,AD=fDC=e, AD=f とおくとき以下の公式が成立する。

    1ae=bd1:ae=bd

    2(a+b)f=2abcosA22:(a+b)f=2ab\cos \dfrac{A}{2}

    3f2=abde3:f^2=ab-de

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    中線定理の3通りの証明

    中線定理

    中線定理(パップスの中線定理)とは,図において

    AB2+AC2=2(AM2+BM2)AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)

    が成立するという定理。ただし,MMBCBC の中点。

    → 中線定理の3通りの証明

    チェバの定理の3通りの証明

    チェバの定理

    チェバの定理:

    図において,

    AFFBBDDCCEEA=1\dfrac{AF}{FB}\cdot\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1

    が成立する。これをチェバの定理と言う。

    → チェバの定理の3通りの証明

    スチュワートの定理の証明とその仲間

    スチュワートの定理

    スチュワートの定理:

    三角形 ABCABC と辺 BCBC 上の点 PP に対して,

    b2BP+c2CP=a(BPCP+AP2)b^2\cdot BP+c^2\cdot CP\\=a(BP\cdot CP+AP^2)

    → スチュワートの定理の証明とその仲間

    九点円の定理の証明と諸性質

    九点円の定理

    九点円の定理:

    三角形 ABCABC において,以下の9点は同一円周上にある。

    三辺の中点 AM,BM,CMA_M,B_M,C_M

    垂線の足 AH,BH,CHA_H,B_H,C_H

    垂心と各頂点の中点 AN,BN,CNA_N,B_N,C_N

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    シュタイナーレームスの定理

    レームスの定理

    シュタイナーレームス(Steiner-Lehmus)の定理:

    三角形 ABCABC において B\angle B の二等分線と ACAC の交点を DDC\angle C の二等分線と ABAB の交点を EE とおく。

    BD=CEBD=CE ならば B=C\angle B=\angle C

    → シュタイナーレームスの定理

    根軸の性質と根心の存在定理

    根心の存在

    根心の存在定理:

    3つの円が互いに2点で交わるとき,三本の根軸は一点で交わる。

    2つの円が2点で交わるとき,その2点を結んだ線を根軸(radical axis)と言います。

    → 根軸の性質と根心の存在定理

    三角形の決定条件と自由度

    三角形の自由度は 33 である。すなわち,三角形に関して(独立な)3個の情報が与えられたら残りの情報も分かる

    → 三角形の決定条件と自由度

    接する2つの円の相似の中心

    任意の円は相似である。

    特に,接する2つの円の相似の中心は接点である

    特に,2つの円が内接する場合が数学オリンピックで頻出の構図です。

    → 接する2つの円の相似の中心

    ケージーの定理とその証明

    ケージーの定理

    ケージーの定理(Casey’s Theorem):

    互いに交わらない4つの円 O1,O2,O3,O4O_1,O_2,O_3,O_4 がそれぞれ点 A,B,C,DA,B,C,D で別の円 OO に(この順番に)内接しているとき,円 iijj の共通外接線の長さを lijl_{ij} とおくと,

    l12l34+l14l23=l13l24l_{12}\cdot l_{34}+l_{14}\cdot l_{23}=l_{13}\cdot l_{24}

    → ケージーの定理とその証明

    2つの円の位置関係

    2つの円の位置関係は5通りあり,中心間の距離と半径によって状況が変わってくるのでどのパターンなのか把握することが重要です。このページでは5通りの分類,交点,接線,相似の中心について整理します。

    → 2つの円の位置関係

    垂心の存在の3通りの証明

    垂心

    三角形 ABCABC において各頂点から向かいの辺に下ろした3本の垂線は一点で交わる。その点を垂心と呼ぶ。

    → 垂心の存在の3通りの証明

    内接円に関する数オリ頻出の図形

    bdcf

    定理:三角形 ABCABC の内接円と辺 BCBC の接点を DD とおく。 DD から辺 BCBC と垂直な直線と内接円の交点を EE とおく。さらに AEAEBCBC の交点を FF とおくとき, BD=CFBD=CF

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    正方形の頂点と最短距離

    問題

    正方形の4頂点を結ぶ方法で,使う線分の長さの総和が最も短いものを求めよ

    正方形以外の場合にも拡張できますが,正方形の場合の結果が特に有名な問題です。

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    2014年IMO第4問の解説

    今年の数学オリンピックの問題です:

    問題

    数学オリンピック2014

    鋭角三角形 ABCABC の辺 BCBC 上に PAB=BCA,\angle PAB=\angle BCA,

    CAQ=ABC\angle CAQ=\angle ABC となるように取る。また,AMAM の中点が PPANAN の中点が QQ となるように M,NM,N を取る。

    このとき BMBMCNCN の交点 XXABCABC の外接円上にあることを証明せよ。

    → 2014年IMO第4問の解説

    アポロニウスの円の証明と応用

    アポロニウスの円がなぜ嬉しいのか?

    アポロニウスの円

    アポロニウスの定理:

    2点 A,BA,B からの距離の比が m:nm:n で一定である点の軌跡は円である。これをアポロニウスの円と呼ぶ。

    なお,m=nm=n のときの軌跡は ABAB の垂直二等分線になりますが,これを半径無限大の円とみなすとアポロニウスの定理は崩れません。

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    図形の美しい3つの定理〜逆数の和〜

    逆数の和に関する平面図形の美しい定理を3つ紹介します。実用的な定理ではありませんが,証明はよい練習問題になるのでトライしてみてください!

    → 図形の美しい3つの定理〜逆数の和〜

    方べきの定理とその統一的な証明

    方べきの定理タイプ1

    方べきの定理とは,円と点 PP と2本の直線が作る図形において,

    PA1×PA2=PB1×PB2PA_1\times PA_2=PB_1\times PB_2

    が成立するという定理です。方べきの定理は全部で3パターンあります。

    この記事では, 方べきの定理の意味と証明 を3パターンそれぞれ解説します。最後に,3つのタイプを統一的に証明する方法を解説します。

    → 方べきの定理とその統一的な証明

    三角形の成立条件とその証明

    三角形の成立条件(存在条件):三辺の長さが a,b,ca,\:b,\:c である三角形が存在する必要十分条件は,

    a+b>ca+b > c かつ b+c>ab+c > a かつ c+a>bc+a > b

    三角形の成立条件とその証明を詳しく解説します。

    → 三角形の成立条件とその証明

    複比の定義と複比が不変であることの証明

    複比(Cross-ratio):

    同一直線上の四点 A,P,B,QA,\:P,\:B,\:Q に対して複比を,

    (A,B;P,Q)=APBP×BQAQ(A,B;P,Q)=\dfrac{AP}{BP}\times\dfrac{BQ}{AQ} と定義する。

    図形問題への応用を念頭に置いているので厳密さよりもわかりやすさを重視しています。

    → 複比の定義と複比が不変であることの証明

    調和点列の様々な定義と具体例

    調和点列:

    同一直線上に四点 A,P,B,QA,\:P,\:B,\:Q がこの順にあるとき,

    1:AP:PB=AQ:QBAP:PB=AQ:QB (線分 ABAB を同じ比で内分する点 PP と外分する点 QQ)

    ならば四点 A,P,B,QA,\:P,\:B,\:Q を調和点列と言う。

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    第一余弦定理とその3通りの証明

    第一余弦定理

    第一余弦定理:三角形 ABCABC に対して,

    a=bcosC+ccosBa=b\cos C+c\cos B

    b=ccosA+acosCb=c\cos A+a\cos C

    c=acosB+bcosAc=a\cos B+b\cos A

    普段はめったにお目にかからない第一余弦定理の解説と証明です。

    → 第一余弦定理とその3通りの証明

    ニュートンの定理とその証明

    ニュートンの定理

    ニュートンの定理:

    中心が OO である円に外接する四角形 ABCDABCD において対角線 ACACBDBD の中点をそれぞれ M,NM,\:N とおくと,M,N,OM,\:N,\:O は同一直線上にある。この直線をニュートン線と呼ぶ。

    → ニュートンの定理とその証明

    反転幾何の基礎

    反転変換:

    中心 OO ,半径 rr の円 Γ\Gamma がある。このとき,円 Γ\Gamma による反転を以下のように定義する。

    PP の行き先は,半直線 OPOP 上の点で,OP×OP=r2OP\times OP'=r^2 を満たす点 PP'

    数学オリンピックでたまに使える「反転」という手法についての基礎的な事柄を解説します。

    → 反転幾何の基礎

    デザルグの定理とその三通りの証明

    デザルグの定理

    デザルグの定理:

    三角形 ABCABCABCA'B'C' がある。このとき,

    AAAA'BBBB'CCCC' が一点 OO で交わる

    ABABABA'B' の交点 PPBCBCBCB'C' の交点 QQCACACAC'A' の交点 RR は同一直線上にある。

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    メネラウスの定理の覚え方と拡張

    メネラウスの定理

    メネラウスの定理:

    右の図において, ADDBBEECCFFA=1\dfrac{AD}{DB}\dfrac{BE}{EC}\dfrac{CF}{FA}=1

    メネラウスの定理の二通りの覚え方(見方)と定理の拡張について解説します。玄人は覚え方2以降がオススメです。

    → メネラウスの定理の覚え方と拡張

    等角共役点とその証明

    等角共役点について

    等角共役点:三角形 ABCABC と点 PP がある。

    角の頂点を通る直線 ll と角の二等分線に関して対称な直線 mmll の等角共役線という。

    AP,BP,CPAP,\:BP,\:CP の等角共役線は一点で交わり,これを PP の等角共役点という。

    平面図形の非常に美しい定理です。

    → 等角共役点とその証明

    ジュルゴンヌ点とナーゲル点の存在証明

    ジュルゴンヌ点(Gergonne point):

    ジュルゴンヌ点

    三角形 ABCABC において内接円と各辺の接点を D,E,FD,E,F とおくとき,AD,BE,CFAD,BE,CF は一点で交わる。この点をジュルゴンヌ点という。

    → ジュルゴンヌ点とナーゲル点の存在証明

    ヒポクラテスの定理とその証明

    ヒポクラテスの三日月

    クイズ:図の黄色部分の面積をできるだけ短時間で求めよ。

    ただし,Γ1,Γ2,Γ3\Gamma_1,\:\Gamma_2,\:\Gamma_3 はそれぞれ AB,BC,CAAB,\:BC,\:CA を直径とする半円です。

    → ヒポクラテスの定理とその証明

    三平方の定理の4通りの美しい証明

    ピタゴラスの定理

    三平方の定理(ピタゴラスの定理): C=90\angle C=90^{\circ} であるような直角三角形において,a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

    → 三平方の定理の4通りの美しい証明

    正五角形の対角線の長さと作図方法

    正五角形を(定規とコンパスのみを使って)作図する方法を解説します。

    正五角形の作図の原理を理解するために,まずは1辺が1の正五角形の対角線の長さについて考えます。とにかく作図方法だけ知りたい!という方はページ下部のグレー背景部分(2箇所)のみ読んで下さい。

    → 正五角形の対角線の長さと作図方法

    全ての三角形が二等辺三角形であることの証明!?

    有名な嘘の証明です。

    全ての三角形が二等辺三角形であること,さらに正三角形であることの証明を解説します。もちろんそのような命題が成立するはずはないので証明のどこかに嘘があります。探してみてください!

    → 全ての三角形が二等辺三角形であることの証明!?

    東大数学(図形問題)のポイントと例題

    • 難関大の図形問題は「どの道具を使って解答するか」から考える必要があることも。
    • 昔の東大入試では簡単な問題も出題されている。

    東大の問題とその解説を通じて「図形問題における道具選び」について考えます。

    → 東大数学(図形問題)のポイントと例題

    Kiepertの定理とその証明

    キエペルトの定理

    Kiepert(キエペルト,キーペルト)の定理:

    三角形 ABCABC の外側(または内側)に相似な二等辺三角形 ABF,BCD,CAEABF,BCD,CAE をつくる。このとき,AD,BE,CFAD,BE,CF は一点 XX で交わる。

    垂心,フェルマー点,ナポレオン点などを包含している非常に美しい定理です。

    → Kiepertの定理とその証明

    射影平面の3通りの定義

    射影平面とは

    1.いつもの平面に無限遠点を加えたもの

    2.半球を貼りあわせたもの

    3.三次元空間中の原点を通る直線の集合

    → 射影平面の3通りの定義

    内接円の半径と三角形の面積

    内接円の半径1

    内接円とは,三角形の3つの辺全てに接する円のこと。内接円の半径は,

    S=r2(a+b+c)S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)

    という公式を使って計算することができる。

    三角形の内接円について詳しく解説します。前半では,内接円の半径の計算公式の意味を解説し,後半では公式を2通りの方法で証明します。

    → 内接円の半径と三角形の面積

    接弦定理とその逆の証明など

    接弦定理

    接線と弦のなす角 BAD\angle BAD は,その弦に対する円周角 ACB\angle ACB と等しい。これを接弦定理と言う。

    接弦定理の意味と証明,および接弦定理の逆とその証明について解説します。

    → 接弦定理とその逆の証明など

    相似比と面積比,体積比の公式の証明

    相似な平面図形について,面積比=相似比の二乗

    相似な空間図形について,体積比=相似比の三乗

    面積比をきちんと理解できれば体積比もほぼ同様に理解できるので「面積比=相似比の二乗」を中心に解説します。

    → 相似比と面積比,体積比の公式の証明

    平方根の長さを作図する2通りの方法

    任意の正の有理数 qq に対して,長さ 11 の線分が与えられれば長さ q\sqrt{q} の線分を定規とコンパスで作図できる。

    長さ q\sqrt{q} の線分を作図できるということは,面積 qq の正方形を作図できるということでもあります!

    → 平方根の長さを作図する2通りの方法

    sinを用いた三角形の面積公式

    sinmenseki

    三角形 ABCABC の面積 SS は,

    S=12absinC=12bcsinA=12casinBS=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ca\sin B

    教科書に載っている非常に基本的な公式です。前半はこの公式を使う例題および証明です。後半は他の公式との関係について考えます。

    → sinを用いた三角形の面積公式

    ルモアーヌ点(類似重心)とその性質

    ルモアーヌ点

    三角形 ABCABC において,「中線を角の二等分線に関して折り返した直線」は 33 本あるが,それらは 11 点で交わる。

    この点をルモアーヌ点(類似重心,Symmedian Point,Lemoine Point)と言う。

    → ルモアーヌ点(類似重心)とその性質

    ミケルの定理とミケル円

    ミケルの定理

    ミケルの定理:

    3点 ABCABC と直線 BCBC 上の点 DDCACA 上の点 EEABAB 上の点 FF がある。この6点は全て異なるとする。

    このとき,三つの円 Γ(AEF)\Gamma(AEF)Γ(BDF)\Gamma(BDF)Γ(CDE)\Gamma(CDE) は一点で交わる。

    → ミケルの定理とミケル円

    等周問題に関連する高校数学の問題

    周の長さが一定である図形の中で,面積が最大のものは円です。(等周定理)

    等周定理の厳密な証明は少し大変なので,ここでは等周定理に関連して「対称性が高い図形は面積が大きい」というテーマで,高校数学で分かる性質をいくつか紹介します。

    → 等周問題に関連する高校数学の問題

    図形の対称移動・グラフの対称移動

    ある図形を,ある直線に関して折り返す移動を線対称移動という。

    ある図形を,ある点を中心に 180180^{\circ} 回転させる移動を点対称移動という。

    この記事では,図形やグラフの移動の代表例である 線対称移動,点対称移動 について解説します。

    → 図形の対称移動・グラフの対称移動

    円の方程式と関連問題|座標・ベクトル・複素数

    座標平面における円の方程式には以下の2つの形がある:

    • 中心と半径による形:(xa)2+(yb)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
    • 一般形:x2+y2+lx+my+n=0x^2 + y^2 + lx + my + n = 0

    この記事では,円の方程式について解説します。

    → 円の方程式と関連問題|座標・ベクトル・複素数

    平面,空間上の2点間の距離について

    平面内の2点 A=(ax,ay),B=(bx,by)A = (a_x, a_y), B = (b_x, b_y) の間の距離 ddd=(axbx)2+(ayby)2d = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2} で与えられる。

    また,空間内の2点 A=(ax,ay,az),B=(bx,by,bz)A = (a_x, a_y, a_z), B = (b_x, b_y, b_z) の間の距離 ddd=(axbx)2+(ayby)2+(azbz)2d = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2 + (a_z - b_z)^2} で与えられる。

    平面あるいは空間内にある2点間の距離を,点の座標によって表す数式です。

    → 平面,空間上の2点間の距離について

    リサージュ曲線の定義とそれに関連する話

    媒介変数 θ\theta を用いて, {x=Asin(aθ+δ)y=Bsin(bθ) \begin{cases} x = A\sin (a\theta + \delta)\\ y = B\sin (b\theta) \end{cases} と表される曲線をリサージュ曲線という。

    リサージュ曲線の定義について述べた後,それに関連する話題を紹介します。

    → リサージュ曲線の定義とそれに関連する話