ケージーの定理とその証明

1：点 $A$ は円 $O_1$ と $O$ の相似の中心なので，$AP$ と円 $O$ の交点 $M$ は，$MO\perp PQ$ を満たす。同様に $BQ$ と円 $O$ の交点 $N$ も $NO\perp PQ$ を満たす。よって $M=N$ である。

2：

$\angle MPQ\\=90^{\circ}-\angle APO_1\\=90^{\circ}-\angle AMO=\dfrac{1}{2}\angle MOA\\=\angle MBA$

より三角形 $MPQ$ と $MBA$ は相似。

3： $MP:MA=OO_1:OA=r-r_1:r$

同様に，$MQ:MB=r-r_2:r$

よって，相似比の二乗は，$MP\cdot MQ:MA\cdot MB=(r-r_1)(r-r_2):r^2$

これより $l_{12}=AB\dfrac{\sqrt{(r-r_1)(r-r_2)}}{r}$

4： $l_{13},l_{14},l_{23},l_{24},l_{34}$ も同様に評価できる。

これと，トレミーの定理($AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD$)より，ケージーの定理を得る。