トレミーの定理とその3通りの証明，応用例

正五角形は円に内接する。よって，4つの頂点を選んで四角形をつくりトレミーの定理を適用すると，

$1\times 1+x\times 1=x\times x\\ 1+x=x^2$

この二次方程式を解くと， $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

対角線 $BD$ 上に，$\angle DAM=\angle BAC$ となるように点 $M$ を取る。

すると，左図で円周角の定理より★の角度は等しいので三角形 $AMD$ と $ABC$ は相似。よって， $$AD:AC=DM:BC\\ AD\times BC=AC\times DM$$

同様に，右図で円周角の定理より■の角度は等しいので三角形 $ADC$ と $AMB$ が相似。よって， $$AB:AC=BM:CD\\ AB\times CD=AC\times BM$$

以上2つの式を足すと，トレミーの定理を得る：
$AB\times CD+AD \times BC\\=AC\times (BM+DM)\\ =AC\times BD$

$AB=a, BC=b, \\CD=c, DA=d,\\ AC=e, BD=f$

とおく。また，$∠ABC=θ$ とおく（すると，円に内接する四角形の性質より $∠ADC=\pi-θ$ となる）。

三角形 $ABC$ に余弦定理を使うと， $\dfrac{a^2+b^2-e^2}{2ab}=\cos\theta$

三角形 $ADC$ に余弦定理を使うと， $\dfrac{c^2+d^2-e^2}{2cd}=\cos(\pi-\theta)$

ここで，$\cos\theta=-\cos(\pi-\theta)$ より $$\dfrac{a^2+b^2-e^2}{2ab}=-\dfrac{c^2+d^2-e^2}{2cd}$$

この等式を $e^2$ について解くと， $$e^2=\dfrac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}$$

全く同様にして $$f^2=\dfrac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}$$

もわかる。以上2式を辺々掛け合わせて平方根を取ると, $$ef=ac+bd$$ となり，トレミーの定理を得る。

円の半径を $R$ とする。図のように $\theta_1,\cdots,\theta_4$ を定める。正弦定理より,

$ac+bd\\ =(2R\sin\theta_1)(2R\sin\theta_3)\\+(2R\sin\theta_2)(2R\sin\theta_4)$

同様に， $ef=4R^2\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)$

よって，トレミーの定理 $ac+bd=ef$ を証明するには， $$\sin\theta_1\sin\theta_3+\sin\theta_2\sin\theta_4\\ =\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)$$ を示せばよい。$\theta_4=180^{\circ}-(\theta_1+\theta_2+\theta_3)$ に注意すると， $$\sin\theta_1\sin\theta_3+\sin\theta_2\sin(\theta_1+\theta_2+\theta_3)\\ =\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)$$ を示せばよい。両辺を頑張って加法定理で展開すると一致することがわかる。

具体的には，両辺ともに以下の式になる：

$\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_2\cos\theta_3\\ +\cos\theta_1\sin\theta_2^2\cos\theta_3\\ +\sin\theta_1\cos\theta_2^2\sin\theta_3\\ +\cos\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_2\sin\theta_3$

正七角形は円に内接する。よって，トレミーの定理より $ab=bc+ac$ がわかる。両辺を $abc$ で割ると正七角形調和が証明された。