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トレミーの定理とその2通りの証明,応用例

更新日時 2021/03/07

トレミーの定理:円に内接する四角形 ABCDABCD において, AB×CDAD×BCAC×BDAB×CD+AD×BC=AC×BD

トレミーの定理

非常に美しい定理で応用も広いです。

大学入試問題では,検算に用いる場合が多いです。

この記事ではトレミーの定理の2通りの証明と,トレミーの定理の応用例を3つ紹介します。まずは応用例から!

目次
  • トレミーの定理の応用1〜ピタゴラスの定理の証明~

  • トレミーの定理の応用2〜正五角形~

  • トレミーの定理の応用3〜正三角形の場合~

  • 対角線の長さを求める素直なトレミーの定理の証明

  • 正弦定理を用いたトレミーの定理の証明

トレミーの定理の応用1〜ピタゴラスの定理の証明~

トレミーの定理の応用1

ピタゴラスの定理の証明方法は100以上あるらしい……そのうちの一つです。

トレミーの定理を長方形に適用すると,

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

つまり,ピタゴラスの定理そのものです。

追記:読者の方から「トレミーの証明にはピタゴラスが必要だから循環論法だ」という鋭いご指摘を受けましたが,三角形の相似のみを用いて(ピタゴラスの定理を用いずに)トレミーの定理を証明することができるので循環論法にはなっていません。

トレミーの定理の応用2〜正五角形~

トレミーの定理の応用2

正五角形の対角線の長さ

1辺が1の正五角形の対角線の長さを xx とおくと,トレミーの定理から,

1+x=x2x=1+521+x=x^2\\ \therefore x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}

となり,有名な黄金比が登場します。

トレミーの定理の応用3〜正三角形の場合~

トレミーの定理の応用3

三角形 ABCABC が正三角形の場合にトレミーの定理を用いると,

AD+CD=BDAD+CD=BD

というわりと有名な美しい関係式が得られます。

ここまでが応用,ここからは証明です!

対角線の長さを求める素直なトレミーの定理の証明

方針:余弦定理を用いて対角線の長さを四角形の4辺の長さで表す方法です。機械的な計算で証明できます。

証明

トレミーの定理の証明

AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,AC=e,BD=f,ABC=θ(ADC=πθ)AB=a, BC=b, \\CD=c, DA=d,\\ AC=e, BD=f,\\ ∠ABC=θ(→∠ADC=π-θ)

とおく。

余弦定理より,

a2+b2e22ab=cosθ=cos(πθ)=c2+d2e22cd\dfrac{a^2+b^2-e^2}{2ab}=\cos\theta\\ =-\cos(\pi-\theta)=-\dfrac{c^2+d^2-e^2}{2cd}

この等式を ee について解き以下を得る:

e2=(ac+bd)(ad+bc)ab+cde^2=\dfrac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}

全く同様にして ff も以下のように表せる:

f2=(ac+bd)(ab+cd)ad+bcf^2=\dfrac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}

以上2式を辺々掛け合わせて平方根を取ると,

ef=ac+bdef=ac+bd

正弦定理を用いたトレミーの定理の証明

方針:正弦定理を用いて両辺を角度の情報に変換します。そこから積和公式を用いてゴリゴリ計算します。

証明

トレミーの定理の証明2

図のように θ1 ,,θ4\theta_1~,\cdots,\theta_4 を定める。正弦定理より,

ac+bd=(2Rsinθ1)(2Rsinθ3)+(2Rsinθ2)(2Rsinθ4)ac+bd\\ =(2R\sin\theta_1)(2R\sin\theta_3)\\+(2R\sin\theta_2)(2R\sin\theta_4)

一方三角関数の積和公式より,

2sinθ1sinθ3=cos(θ1θ3)cos(θ1+θ3)2sinθ2sinθ4=cos(θ2θ4)cos(θ2+θ4)2\sin\theta_1\sin\theta_3=\cos(\theta_1-\theta_3)-\cos(\theta_1+\theta_3)\\ 2\sin\theta_2\sin\theta_4=\cos(\theta_2-\theta_4)-\cos(\theta_2+\theta_4)

また, θ1+θ3+θ2+θ4=π\theta_1+\theta_3+\theta_2+\theta_4=\pi より,

cos(θ1+θ3)+cos(θ2+θ4)=0\cos(\theta_1+\theta_3)+\cos(\theta_2+\theta_4)=0

以上から, ac+bd=2R2{cos(θ1θ3)+cos(θ2θ4)}ac+bd=2R^2\{\cos(\theta_1-\theta_3)+\cos(\theta_2-\theta_4)\}

同様に正弦定理と積和公式から,

となり,ac+bd=efac+bd=ef が示された。

他にも初等幾何を用いる方法や複素数を用いる方法もあります。(詳しくはwikipedia参照

プトレマイオスの定理とも言うみたいです。

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