トレミーの定理とその2通りの証明，応用例

$AB=a, BC=b, \\CD=c, DA=d,\\ AC=e, BD=f,\\ ∠ABC=θ(→∠ADC=π-θ)$

とおく。

余弦定理より,

$\dfrac{a^2+b^2-e^2}{2ab}=\cos\theta\\ =-\cos(\pi-\theta)=-\dfrac{c^2+d^2-e^2}{2cd}$

この等式を $e$ について解き以下を得る：

$e^2=\dfrac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}$

全く同様にして $f$ も以下のように表せる：

$f^2=\dfrac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}$

以上2式を辺々掛け合わせて平方根を取ると,

$ef=ac+bd$

図のように $\theta_1~,\cdots,\theta_4$ を定める。正弦定理より,

$ac+bd\\ =(2R\sin\theta_1)(2R\sin\theta_3)\\+(2R\sin\theta_2)(2R\sin\theta_4)$

一方三角関数の積和公式より,

$2\sin\theta_1\sin\theta_3=\cos(\theta_1-\theta_3)-\cos(\theta_1+\theta_3)\\ 2\sin\theta_2\sin\theta_4=\cos(\theta_2-\theta_4)-\cos(\theta_2+\theta_4)$

また, $\theta_1+\theta_3+\theta_2+\theta_4=\pi$ より,

$\cos(\theta_1+\theta_3)+\cos(\theta_2+\theta_4)=0$

以上から, $ac+bd=2R^2\{\cos(\theta_1-\theta_3)+\cos(\theta_2-\theta_4)\}$

同様に正弦定理と積和公式から,

となり，$ac+bd=ef$ が示された。