トレミーの定理とその3通りの証明，応用例

正五角形は円に内接する。よって，4つの頂点を選んで四角形をつくりトレミーの定理を適用すると，

$$1\times 1+x\times 1=x\times x$$

つまり $1+x=x^2$

この二次方程式を解くと， $$x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$

対角線 $BD$ 上に，$\angle DAM=\angle BAC$ となるように点 $M$ を取る。

すると，左図で円周角の定理より★の角度は等しいので三角形 $AMD$ と $ABC$ は相似。よって， $$AD:AC=DM:BC\\ AD\times BC=AC\times DM$$

同様に，右図で円周角の定理より■の角度は等しいので三角形 $ADC$ と $AMB$ が相似。よって， $$AB:AC=BM:CD\\ AB\times CD=AC\times BM$$

以上2つの式を足すと，トレミーの定理を得る：
$$\begin{aligned}&AB\times CD+AD \times BC\\&=AC\times (BM+DM)\\ &=AC\times BD\end{aligned}$$

$AB=a, BC=b, \\CD=c, DA=d,\\ AC=e, BD=f$

とおく。また，$∠ABC=θ$ とおく（すると，円に内接する四角形の性質より $∠ADC=\pi-θ$ となる）。

三角形 $ABC$ に余弦定理を使うと， $$\dfrac{a^2+b^2-e^2}{2ab}=\cos\theta$$

三角形 $ADC$ に余弦定理を使うと， $$\dfrac{c^2+d^2-e^2}{2cd}=\cos(\pi-\theta)$$

ここで，$\cos\theta=-\cos(\pi-\theta)$ より $$\dfrac{a^2+b^2-e^2}{2ab}=-\dfrac{c^2+d^2-e^2}{2cd}$$

この等式を $e^2$ について解くと， $$e^2=\dfrac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}$$

全く同様にして $$f^2=\dfrac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}$$

もわかる。以上2式を辺々掛け合わせて平方根を取ると, $$ef=ac+bd$$ となり，トレミーの定理を得る。

円の半径を $R$ とする。図のように $\theta_1,\cdots,\theta_4$ を定める。正弦定理より,

$$\begin{aligned}&ac+bd\\ &=(2R\sin\theta_1)(2R\sin\theta_3)\\&\:\:\:+(2R\sin\theta_2)(2R\sin\theta_4)\end{aligned}$$

同様に， $$ef=4R^2\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)$$

よって，トレミーの定理 $ac+bd=ef$ を証明するには， $$\begin{aligned}&\sin\theta_1\sin\theta_3+\sin\theta_2\sin\theta_4\\ &=\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)\end{aligned}$$ を示せばよい。$\theta_4=180^{\circ}-(\theta_1+\theta_2+\theta_3)$ に注意すると， $$\begin{aligned}&\sin\theta_1\sin\theta_3+\sin\theta_2\sin(\theta_1+\theta_2+\theta_3)\\& =\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)\end{aligned}$$ を示せばよい。両辺を頑張って加法定理で展開すると一致することがわかる。

具体的には，両辺ともに以下の式になる：

$$\begin{aligned}&\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_2\cos\theta_3\\& +\cos\theta_1\sin^2\theta_2\cos\theta_3\\& +\sin\theta_1\cos^2\theta_2\sin\theta_3\\& +\cos\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_2\sin\theta_3\end{aligned}$$

正七角形は円に内接する。よって，トレミーの定理より $ab=bc+ac$ がわかる。両辺を $abc$ で割ると正七角形調和が証明された。