トレミーの定理とその2通りの証明,応用例
トレミーの定理:円に内接する四角形 において,
非常に美しい定理で応用も広いです。
大学入試問題では,検算に用いる場合が多いです。
この記事ではトレミーの定理の2通りの証明と,トレミーの定理の応用例を3つ紹介します。まずは応用例から!
トレミーの定理の応用1〜ピタゴラスの定理の証明~
トレミーの定理の応用2〜正五角形~
トレミーの定理の応用3〜正三角形の場合~
対角線の長さを求める素直なトレミーの定理の証明
正弦定理を用いたトレミーの定理の証明
トレミーの定理の応用1〜ピタゴラスの定理の証明~
ピタゴラスの定理の証明方法は100以上あるらしい……そのうちの一つです。
トレミーの定理を長方形に適用すると,
つまり,ピタゴラスの定理そのものです。
追記:読者の方から「トレミーの証明にはピタゴラスが必要だから循環論法だ」という鋭いご指摘を受けましたが,三角形の相似のみを用いて(ピタゴラスの定理を用いずに)トレミーの定理を証明することができるので循環論法にはなっていません。
トレミーの定理の応用2〜正五角形~
正五角形の対角線の長さ
1辺が1の正五角形の対角線の長さを とおくと,トレミーの定理から,
となり,有名な黄金比が登場します。
トレミーの定理の応用3〜正三角形の場合~
三角形 が正三角形の場合にトレミーの定理を用いると,
というわりと有名な美しい関係式が得られます。
ここまでが応用,ここからは証明です!
対角線の長さを求める素直なトレミーの定理の証明
方針:余弦定理を用いて対角線の長さを四角形の4辺の長さで表す方法です。機械的な計算で証明できます。
とおく。
余弦定理より,
この等式を について解き以下を得る:
全く同様にして も以下のように表せる:
以上2式を辺々掛け合わせて平方根を取ると,
正弦定理を用いたトレミーの定理の証明
方針:正弦定理を用いて両辺を角度の情報に変換します。そこから積和公式を用いてゴリゴリ計算します。
図のように を定める。正弦定理より,
一方三角関数の積和公式より,
また, より,
以上から,
同様に正弦定理と積和公式から,
となり, が示された。
他にも初等幾何を用いる方法や複素数を用いる方法もあります。(詳しくはwikipedia参照)
プトレマイオスの定理とも言うみたいです。