データの分析，確率

確率変数 $X,Y$ と期待値に関して以下が成立する：

$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$

より一般的には，$\displaystyle E[\sum_{i=1}^nX_i]=\sum_{i=1}^nE[X_i]$

平均を $\mu$ ，標準偏差を $\sigma$ ，得点を $x_i$ とすると，偏差値 $T_i$ は，

$T_i=\dfrac{x_i-\mu}{\sigma}\times 10+50$

で計算できます。

ベイズの定理：

$P(X)P(Y|X)=P(Y)P(X|Y)=P(X\cap Y)$

ポリアの壺：

壺に赤玉が $a$ 個，白球が $b$ 個入っている。その中から玉を1つ無作為に取り出し， 選んだ玉を壺に戻した上で選んだ玉と同じ色の玉を1つ壺に加える。

この試行を $n$ 回繰り返す。 $n$ 回目に赤玉が選ばれる確率は $p_n=\dfrac{a}{a+b}$

共分散とは，二組の対応するデータの間の関係を表す数値です。

二組の対応するデータ $(X,Y)$ に対して，相関係数 $\rho$ を以下で定義する：

$\rho=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$

• 確率 $p$ で当たるような試行を（独立に）$n$ 回繰り返す。そのうち $k$ 回当たる確率は，${}_n\mathrm{C}_kp^k(1-p)^{n-k}$ である。
• 二項分布 $\mathrm{B}(n,p)$ に従う確率変数の期待値は $np$，分散は $np(1-p)$ である。

確率変数 $X$ と $Y$ が

1：独立なら無相関

2：無相関でも独立とは限らない

3：多次元正規分布に従うとき独立 $\iff$ 無相関

データ群の特徴を一つの数値で表したものを代表値と呼ぶ。代表値の中でも平均値，中央値，最頻値が有名。

誕生日のパラドックス：$23$ 人いれば，その中に同じ誕生日である二人組が $50\%$以上で存在する。

反復試行の確率：

確率 $p$ で成功するような試行を独立に $n$ 回反復して行ったとき，$n$ 回のうち $k$ 回成功する確率は，

${}_n\mathrm{C}_kp^k(1-p)^{n-k}$

コンプガチャの期待値：

$n$ 種類，等確率のコンプガチャで全ての景品を集めるのに必要な回数の期待値は $n(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{n})$ である。

分散とは，データの散らばりの大きさを表す指標です。分散が小さいほど「全員が平均に近い」と言え，分散が大きいほど「平均から遠いデータが多い」と言えます。

じゃんけんグリコの最適戦略はもらえる得点をスライドさせた感じになる。

幾何分布： $P(n)=(1-p)^{n-1}p$ で表される離散型確率分布を幾何分布と言う。

四分位数 とは，データを小さい順に並べたときの，下から $\dfrac{1}{4}$ ，または上から $\dfrac{1}{4}$ の部分にある数のことです。

特に，下から $\dfrac{1}{4}$ の数を 第1四分位数 と言い，上から $\dfrac{1}{4}$ の数を 第3四分位数 と言います。

あみだくじの確率にはかなりの偏りが生じる。

$n$ 人でじゃんけんをしたときにあいこになる確率は $p_n=1-\dfrac{2^n-2}{3^{n-1}}$

もし人生で $n$ 人の異性と付き合うことが分かっていて $n$ が十分大きいなら，最初の $\dfrac{n}{e}$ 人とは別れてその後で「今までで一番いい人」がいたら結婚するべきである。

事象 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ に対して

$P(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n)\leq \displaystyle\sum_{i=1}^nP(A_i)$

余事象の公式：

$P(A)=1-P(\overline{A})$

標準偏差 $\sigma$ はデータの散らばり具合を表す指標の一つ。データを $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ とすると

$\sigma=\sqrt{\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2}$