巴戦の確率

「二試合目において，1勝している人」が優勝する確率を $x$

「二試合目において，1勝している人の対戦相手」が優勝する確率を $y$

「二試合目の待機者」が優勝する確率を $z$ とする

二試合目の結果で場合わけすることにより，

$$x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}z$$ $$y=\dfrac{1}{2}x$$ $$z=\dfrac{1}{2}y$$ が分かる。これを解くと， $$x=\dfrac{4}{7},\:y=\dfrac{2}{7},\:z=\dfrac{1}{7}$$

よって，巴戦でAが優勝する確率は， $$\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}z=\dfrac{5}{14}$$

Aが $n$ 試合目に優勝する確率を $a_n$ とする。

$a_1=0$，$a_2=\dfrac{1}{4}$，$a_3=0$ はすぐ分かる。もう少し小さな $n$ で考えてみると以下のことが分かる。

• Aが $3k+1$ 回目に優勝するのは「負け，待ち，勝ち」を $k$ 回繰り返して最後に勝つ場合だけなので，$n=3k+1\:(k=1,2,\dots)$ のとき，$a_n=\dfrac{1}{2^n}$

• Aが $3k+2$ 回目に優勝するのは1回目勝ってから「負け，待ち，勝ち」を $k$ 回繰り返して最後に勝つ場合だけなので，$n=3k+2\:(k=0,1,\dots)$ のとき，$a_n=\dfrac{1}{2^n}$

• Aが $3k$ 回目に優勝することはない。

よって，求める確率は

$$\begin{aligned}&\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\\ &=(a_4+a_7+a_{10}+\cdots)+(a_2+a_5+a_8+\cdots)\\ &=\left(\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^7}+\dfrac{1}{2^{10}}+\cdots\right)+\left(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^5}+\dfrac{1}{2^{8}}+\cdots\right)\\ &=\dfrac{\frac{1}{2^4}}{1-\frac{1}{2^3}}+\dfrac{\frac{1}{2^2}}{1-\frac{1}{2^3}}=\dfrac{5}{14}\end{aligned}$$

ただし，最後から2つめの等号では無限等比級数の公式を使った。