巴戦の確率

巴戦(ともえせん)の問題について解説します。2016年東大第2問(文理共通)でも扱われた話題です。

結論

3人の巴戦では,最初に戦う2人が有利で,勝つ確率は 51435.7\dfrac{5}{14}\fallingdotseq 35.7% である。残った1人の勝つ確率は 41428.6\dfrac{4}{14}\fallingdotseq 28.6% である。

巴戦とは(3人の場合)

  • 登場人物はA,B,Cの3人

  • 1試合目はAとBが戦う

  • n+1n+1 試合目は nn 試合目の勝者と nn 試合目に待機していた人が戦う

  • 誰かが二連勝したらその人が優勝してゲーム終了

  • 全員の実力は同じとする

大相撲の優勝決定戦などで使われる方法です。巴戦でAが優勝する確率を2通りの方法で求めます。

方程式を立てる方法

解答1

「二試合目において,1勝している人」が優勝する確率を xx

「二試合目において,1勝している人の対戦相手」が優勝する確率を yy

「二試合目の待機者」が優勝する確率を zz とする

二試合目の結果で場合わけすることにより,

x=12+12zx=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}z y=12xy=\dfrac{1}{2}x z=12yz=\dfrac{1}{2}y が分かる。これを解くと, x=47,y=27,z=17x=\dfrac{4}{7},\:y=\dfrac{2}{7},\:z=\dfrac{1}{7}

よって,巴戦でAが優勝する確率は, 12x+12z=514\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}z=\dfrac{5}{14}

ちなみに,Bが優勝する確率も 514\dfrac{5}{14} です。Cが優勝する確率は 414\dfrac{4}{14} です(微妙に不平等)。

各パターンを直接計算する方法

解答2

Aが nn 試合目に優勝する確率を ana_n とする。

a1=0a_1=0a2=14a_2=\dfrac{1}{4}a3=0a_3=0 はすぐ分かる。もう少し小さな nn で考えてみると以下のことが分かる。

  • Aが 3k+13k+1 回目に優勝するのは「負け,待ち,勝ち」を kk 回繰り返して最後に勝つ場合だけなので,n=3k+1(k=1,2,)n=3k+1\:(k=1,2,\dots) のとき,an=12na_n=\dfrac{1}{2^n}

  • Aが 3k+23k+2 回目に優勝するのは1回目勝ってから「負け,待ち,勝ち」を kk 回繰り返して最後に勝つ場合だけなので,n=3k+2(k=0,1,)n=3k+2\:(k=0,1,\dots) のとき,an=12na_n=\dfrac{1}{2^n}

  • Aが 3k3k 回目に優勝することはない。

よって,求める確率は

n=1an=(a4+a7+a10+)+(a2+a5+a8+)=(124+127+1210+)+(122+125+128+)=1241123+1221123=514\begin{aligned}&\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\\ &=(a_4+a_7+a_{10}+\cdots)+(a_2+a_5+a_8+\cdots)\\ &=\left(\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^7}+\dfrac{1}{2^{10}}+\cdots\right)+\left(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^5}+\dfrac{1}{2^{8}}+\cdots\right)\\ &=\dfrac{\frac{1}{2^4}}{1-\frac{1}{2^3}}+\dfrac{\frac{1}{2^2}}{1-\frac{1}{2^3}}=\dfrac{5}{14}\end{aligned}

ただし,最後から2つめの等号では無限等比級数の公式を使った。

ちなみに,5人の場合なども同様に考えることができます(待機者が3人)。解答1,解答2のいずれでも解くことができます。練習問題にどうぞ!

高校時代,3人で卓球をやるときに巴戦をやった記憶があります。

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