指数・対数関数

対数の定義：$a^b=c\iff \log_a c=b$

1. $\log_a M+\log_a N=\log_a MN$

2. $\log_a M^p=p\log_a M$

3. $\log_a \dfrac{1}{M}=-\log_a M$

4. $\log_a M-\log_a N=\log_a \dfrac{M}{N}$

5. $\log_a 1=0$

6. $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$（底の変換公式）

• $\log_{10} 2\fallingdotseq 0.3010$
• $\log_{10} 3\fallingdotseq 0.4771$
• $\log_{10} 7\fallingdotseq 0.8451$
• $\log_{e} x\fallingdotseq 2.3\log_{10} x$

指数関数のグラフは，以下の三点を調べて，それをいい感じにつなげれば簡単に書ける

• $x$ が十分小さいとき（$x\to -\infty$）
• $x=0$ のとき
• $x$ が十分大きいとき（$x\to\infty$）

$a,b,c > 0$，$a,c\neq 1$ のとき $$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$$ が成り立つ。

• グラフの概形を考える
• 底を揃える

対数 $\log_a b$ について，$a$ のことを底，$b$ のことを真数と言う。

次の方程式を解け。

(1) $\log_2 (x+1) = 2 + \log_2 x$

(2) $\log_9 x = \log_3 (x-2)$

(3) $(\log_2 x)^2 = \log_2 x^2$

(4) $\log_x 2 = \log_2 x^2 +1$

次の不等式を解け。

(1) $\log_2 (x+3) < 2 \log_2 (x+1)$

(2) $\log_{0.5} x + 1 \geqq \log_2 (x+1)$

(3) $(\log_2 x)^2 \leqq \log_2 x + 2$

3乗して $1$ になる複素数は3つある。具体的には，

$1$ と $\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$

常用対数とは，$10$ を底とする対数 $\log_{10}N$ のこと。

つまり，$10^x=N$ を満たす $x$ のこと。

双曲線関数と呼ばれる重要な関数 $\cosh,\sinh,\tanh$ が以下の式で定義される：

• $\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$
• $\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
• $\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

数列 $a_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ の $n \to \infty$ での極限は存在する。その値を自然対数の底（ネイピア数）と呼び，$e$ と書く。

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$

任意の正の実数 $x$ に対して

$\log x\leqq x-1$

ひもの両端を手で持ってたらした曲線の式は $$y=\dfrac{a(e^{\tfrac{x}{a}}+e^{-\tfrac{x}{a}})}{2}$$ この曲線を懸垂線またはカテナリーと呼ぶ。

$$\begin{aligned} \sinh x &= x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots\\ \cosh x &= 1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots\\ \tanh x &= x-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5-\cdots \end{aligned}$$

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots$