指数・対数関数

    更新日時 2021/03/11

    覚えておくと便利な対数の公式3点セット

    以下の公式は教科書に載っていない公式ですが,使いこなせばかなりの時間短縮になります。

    (i) alogbc=clogbaa^{\log_b c}=c^{\log_b a}

    (ii) (logab)(logbc)=logac(\log_a b)(\log_b c)=\log_a c

    (iii) loganb=1nlogab\log_{a^n} b=\dfrac{1}{n}\log_a b

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    マクローリン展開にまつわる指数関数の不等式

    (i) ex1e^x\geq 1

    (ii) ex1+xe^x\geq 1+x

    (iii) ex1+x+x22e^x\geq 1+x+\dfrac{x^2}{2}

    (iv) ex1+x+x22+x36e^x\geq 1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}

    ただし,(i)と(iii)は,x0x\geq 0 の範囲で成立する不等式で,(ii)と(iv)はすべての実数 xx に対して成立します。

    上記の4つの不等式について,背景を紹介します。

    → マクローリン展開にまつわる指数関数の不等式

    懸垂線の2通りの導出

    紐の両端を手で持ってたらした曲線の式は

    y=a(exa+exa)2y=\dfrac{a(e^{\tfrac{x}{a}}+e^{-\tfrac{x}{a}})}{2}

    この曲線は懸垂線またはカテナリーと呼ばれる非常に有名な曲線です。懸垂線に関する入試問題はたまに出題されるので,知っておくべき性質をまとめた後に導出を紹介します。

    → 懸垂線の2通りの導出

    双曲線関数の意味・性質・楽しい話題まとめ

    双曲線関数と呼ばれる重要な関数が以下の式で定義される:

    coshx=ex+ex2\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}

    sinhx=exex2\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}

    tanhx=sinhxcoshx=exexex+ex\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

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    減衰曲線の重要な性質まとめ

    y=eaxsinbx,y=eaxcosbx(a,b>0)y=e^{-ax}\sin bx,y=e^{-ax}\cos bx (a,b > 0) は減衰曲線と呼ばれる重要な関数。

    → 減衰曲線の重要な性質まとめ

    自然対数の底(ネイピア数)に収束することの証明

    自然対数の底:

    数列 an=(1+1n)na_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n の極限は存在するので,その値を ee と定義して自然対数の底(ネイピア数)と呼ぶ。

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    nのn乗根の最大項と極限

    今回は入試でもしばしばテーマになる数列「nのn乗根」について,覚えておくべき性質を3つ解説します。

    a1=1,a2=2,a3=33,a_1=1,a_2=\sqrt{2},a_3=\sqrt[3]{3},\cdots

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    ネイピア数eが無理数であることの証明

    ネイピア数 ee は無理数である

    このページでは有名なフーリエの方法を紹介します。オイラーの方法についても概略を述べます。

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    常用対数の覚え方と検算への応用

    log1020.3010\log_{10} 2\simeq 0.3010

    log1030.4771\log_{10} 3\simeq 0.4771

    log1070.8451\log_{10} 7\simeq 0.8451

    logex2.3log10x\log_{e} x\simeq 2.3\log_{10} x

    これらの値は覚えておくと便利です。

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    有名不等式logx≦x-1の証明と入試問題

    任意の正の実数 xx に対して logxx1\log x\leq x-1

    対数を1次関数で近似したいときに使える有名不等式です。入試でも頻出です。

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    指数関数のグラフの二通りの書き方

    このページでは,指数関数のグラフの書き方を詳しく解説します。 y=2xy=2^xy=(13)xy=\left(\dfrac{1}{3}\right)^xy=1+23x1y=1+2\cdot 3^{x-1} などのグラフをすばやく書けるようにしましょう!

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    e^xのマクローリン展開,三角関数との関係

    ex=1+x+x22!+x33!+x44!+e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots

    指数関数 exe^x の高階微分,マクローリン展開(x=0x=0 でのテイラー展開),指数関数と三角関数の関係式について解説します。

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    ゼロ乗,マイナス乗,分数乗,無理数乗

    正の実数 aa と任意の実数 xx に対して axa^x を以下のように定義する:

    1. xx が正の整数のとき,ax=a^x=aaxx 回かけたもの)

    2. xx00 のとき,ax=1a^x=1

    3. xx が負の整数のとき,ax=1axa^x=\dfrac{1}{a^{-x}}

    4. xx が有理数 qp\dfrac{q}{p} のとき,ax=(ap)qa^x=(\sqrt[p]a)^q

    5. xx が無理数のとき,f(x)=axf(x)=a^x が連続関数になるようにつなげる

    → ゼロ乗,マイナス乗,分数乗,無理数乗

    底の変換公式の証明と例題

    底の変換公式:

    a,b,c>0a,b,c > 0a,c1a,c\neq 1 のとき

    logab=logcblogca\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}

    この記事では,底の変換公式について,意味や証明方法を解説します。

    → 底の変換公式の証明と例題

    常用対数を用いた桁数と最高位の数の計算

    この記事では,常用対数の意味と応用例を紹介します。常用対数を使えば「 2302^{30} の桁数を計算せよ」といった問題を解くこともできます。

    → 常用対数を用いた桁数と最高位の数の計算

    対数の基本的な性質とその証明

    1. logaM+logaN=logaMN\log_a M+\log_a N=\log_a MN

    2. logaMp=plogaM\log_a M^p=p\log_a M

    3. loga1M=logaM\log_a \dfrac{1}{M}=-\log_a M

    4. logaMlogaN=logaMN\log_a M-\log_a N=\log_a \dfrac{M}{N}

    5. loga1=0\log_a 1=0

    6. logab=logcblogca\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}

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    指数法則の直感的な意味と利用例

    次の関係式を指数法則という。 am×an=am+nam÷an=amn(am)n=amn(ab)n=anbn(ab)n=anbn \begin{aligned} a^m \times a^n = a^{m+n} \\ a^m \div a^n = a^{m-n} \\ (a^m)^n = a^{mn} \\ (ab)^n = a^n b^n \\ \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \end{aligned}

    この記事では,数字の右上に小さく乗っている数「指数」に関する公式「指数法則」について詳しく解説します。

    → 指数法則の直感的な意味と利用例

    累乗根の定義と具体例

    aa に対して,nn 乗して aa になるような数aann 乗根という。

    特定の nn を意識しない場合はまとめて累乗根とも言います。

    → 累乗根の定義と具体例