指数・対数関数

(i) $a^{\log_b c}=c^{\log_b a}$

(ii) $(\log_a b)(\log_b c)=\log_a c$

(iii) $\log_{a^n} b=\dfrac{1}{n}\log_a b$

(i) $e^x\geq 1$

(ii) $e^x\geq 1+x$

(iii) $e^x\geq 1+x+\dfrac{x^2}{2}$

(iv) $e^x\geq 1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}$

ただし，(i)と(iii)は，$x\geq 0$ の範囲で成立する不等式で，(ii)と(iv)はすべての実数 $x$ に対して成立します。

紐の両端を手で持ってたらした曲線の式は

$y=\dfrac{a(e^{\tfrac{x}{a}}+e^{-\tfrac{x}{a}})}{2}$

双曲線関数と呼ばれる重要な関数が以下の式で定義される：

$\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$

$\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$

$\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

$y=e^{-ax}\sin bx,y=e^{-ax}\cos bx (a,b > 0)$ は減衰曲線と呼ばれる重要な関数。

自然対数の底：

数列 $a_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ の極限は存在するので，その値を $e$ と定義して自然対数の底（ネイピア数）と呼ぶ。

ネイピア数 $e$ は無理数である

$\log_{10} 2\simeq 0.3010$

$\log_{10} 3\simeq 0.4771$

$\log_{10} 7\simeq 0.8451$

$\log_{e} x\simeq 2.3\log_{10} x$

任意の正の実数 $x$ に対して $\log x\leq x-1$

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots$

正の実数 $a$ と任意の実数 $x$ に対して $a^x$ を以下のように定義する：

1． $x$ が正の整数のとき，$a^x=$ （$a$ を $x$ 回かけたもの）

2． $x$ が $0$ のとき，$a^x=1$

3． $x$ が負の整数のとき，$a^x=\dfrac{1}{a^{-x}}$

4． $x$ が有理数 $\dfrac{q}{p}$ のとき，$a^x=(\sqrt[p]a)^q$

5． $x$ が無理数のとき，$f(x)=a^x$ が連続関数になるようにつなげる

底の変換公式：

$a,b,c > 0$ ，$a,c\neq 1$ のとき

$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

1. $\log_a M+\log_a N=\log_a MN$

2. $\log_a M^p=p\log_a M$

3. $\log_a \dfrac{1}{M}=-\log_a M$

4. $\log_a M-\log_a N=\log_a \dfrac{M}{N}$

5. $\log_a 1=0$

6. $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

次の関係式を指数法則という。 $$\begin{aligned} a^m \times a^n = a^{m+n} \\ a^m \div a^n = a^{m-n} \\ (a^m)^n = a^{mn} \\ (ab)^n = a^n b^n \\ \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \end{aligned}$$

数 $a$ に対して，$n$ 乗して $a$ になるような数を $a$ の $n$ 乗根という。