減衰曲線の重要な性質まとめ

更新 2021/03/07

$y=e^{-ax}\sin bx,y=e^{-ax}\cos bx (a,b > 0)$ は減衰曲線と呼ばれる重要な関数。

減衰曲線は応用上重要な関数（二階線形微分方程式の解）である上に微分，積分計算も適度な難易度なので大学入試で超頻出です。

ということで，このページでは減衰曲線について知っておくべき4つのトピックを扱います。

以下では $\sin$ の場合について説明しますが， $\cos$ の場合もほぼ同様に扱えます。

減衰曲線の極限とグラフ

1：減衰曲線の極限は0

2：減衰曲線のグラフの概形は微分せずに書けるように

まずは1：極限の基本的な問題です。

1の証明

$-1\leq \sin bx\leq 1$ とはさみ打ちの原理より，

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}-e^{-ax} <\lim_{x\to\infty}e^{-ax}\sin bx <\lim_{x\to\infty}e^{-ax}$

であり左辺と右辺は $0$ に収束することから $\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{-ax}\sin bx=0$

次に，2：グラフの概形の話です。

減衰曲線のグラフ sinx/xについて覚えておくべき2つのことでも述べたように，一般的に $y=f(x)\sin x$ のグラフは $y=f(x)$ と $y=-f(x)$ のグラフを用いて簡単に書くことができます。

図において黒丸は $y=\pm e^{-ax}$ との交点で， $x$ 軸方向に等間隔に並んでいます。微分すれば分かるのですが，黒丸は極大・極小点とは異なる（微妙にずれている）ので注意してください。

極大・極小の値は微分を用いないと求めることができませんが，減衰曲線のグラフの概形は一瞬でイメージできるようになっておきましょう。

減衰曲線の積分

3：減衰曲線の不定積分は部分積分を2回

4：減衰曲線による面積は等比数列

3：続いて積分の話です。

「減衰曲線の不定積分は部分積分を2回繰り返せば求めることができる」ということを覚えておくことが重要です。発展的ですが，複素指数関数を用いて積分を行うこともできます。→三角関数と指数関数の積の積分

4：最後に面積の話です。4つの中で一番知名度が低いトピックですが，入試では頻出です。

$S_n=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{b}(n-1)}^{\frac{\pi}{b}n}e^{-ax}\sin bxdx$ とおくと， $S_n$ は公比が $-e^{-\frac{a\pi}{b}}$ の等比数列になります。

証明

減衰曲線と面積

$y=x-\dfrac{\pi}{b}$ と置換します。

$S_{n+1}=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{b}n}^{\frac{\pi}{b}(n+1)}e^{-ax}\sin bxdx\\ =\displaystyle\int_{\frac{\pi}{b}(n-1)}^{\frac{\pi}{b}n}e^{-a(y+\frac{\pi}{b})}\sin b(y+\dfrac{\pi}{b})dy\\ =-e^{-\frac{a\pi}{b}}S_n$

式だけ見るとゴツくていまいちピンと来ませんが，図を見ればしっくりくると思います。

なお， $S_n$ の各項が正になるように減衰曲線の下半分を折り返した曲線 $y=|e^{-ax}\sin bx|$ を考える場合も多いです。

→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT112では，性質4が活躍する例題と検算のコツを紹介しています。

物理では運動方程式の解として減衰曲線が出てきます。

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この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！