減衰曲線の重要な性質まとめ

$-1\leq \sin bx\leq 1$ とはさみ打ちの原理より，

$$\displaystyle\lim_{x\to\infty}-e^{-ax} <\lim_{x\to\infty}e^{-ax}\sin bx <\lim_{x\to\infty}e^{-ax}$$

であり，左辺と右辺は $0$ に収束することから $$\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{-ax}\sin bx=0$$

sinx/xについて覚えておくべき2つのことでも述べたように， 一般的に $y=f(x)\sin x$ のグラフは $y=f(x)$ と $y=-f(x)$ のグラフを用いて簡単に書けます。

図において黒丸は $y=\pm e^{-ax}$ との交点で，$x$ 軸方向に等間隔に並んでいます。微分すれば分かるのですが，黒丸は極大・極小点とは異なる（微妙にずれている）ので注意してください。

$y=x-\dfrac{\pi}{b}$ と置換すると，

$$\begin{aligned}S_{n+1}&=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{b}n}^{\frac{\pi}{b}(n+1)}e^{-ax}\sin bxdx\\ &=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{b}(n-1)}^{\frac{\pi}{b}n}e^{-a(y+\frac{\pi}{b})}\sin b(y+\dfrac{\pi}{b})dy\\ &=-e^{-\frac{a\pi}{b}}S_n\end{aligned}$$