sinx/xについて覚えておくべき２つのこと

更新日時 2021/03/07

sinc関数

$y=\dfrac{\sin x}{x}$ はsinc関数と呼ばれる有名な関数である。

$y=\dfrac{\sin x}{x}$ という関数に関連する話題を整理しました。

sinx/xの極限が1になることの証明
sinx/xの拡張
sinx/xのグラフ
sinx/xの微分

sinx/xの極限が1になることの証明

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$

まずは $\dfrac{\sin x}{x}$ の極限です。非常に有名な公式です。

証明

sinx/xの極限

図において面積に以下の不等式が成立する：

三角形 $OAB <$ 扇型 $OAB <$ 三角形 $OBC$

すなわち，

$\dfrac{1}{2}\sin x < \dfrac{1}{2}x < \dfrac{1}{2}\tan x$

両辺 $\sin x$ で割って逆数をとる：

$\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1$

ここで， $x \to +0$ とすると， $\cos x\to 1$ なのではさみうちの原理から $\displaystyle\lim_{x\to +0}\dfrac{\sin x}{x}=1$

また， $\dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{\sin (-x)}{-x}$ なので，

$\displaystyle\lim_{x\to -0}\dfrac{\sin x}{x}=1$

以上から，

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$

証明の補足

上記の導出方法は有名なので覚えておくとよいでしょう。
図形的性質が使えるのは $x > 0$ の場合だけなのでまわりくどいですが $x \to -0$ の場合も証明しました。
2013年の阪大理系でそのまま出題されています。
$\sin x < x$ は $\sin x$ を上からおさえる公式ですが，下からおさえる有名な不等式もあります。→ジョルダンの不等式とその3通りの証明

sinx/xの拡張sinc関数：
y=sin⁡xxy=\dfrac{\sin x}{x}y=xsinx​
 は厳密には
x=0x=0x=0
 では定義されていません。しかし，
定義域が実数全体で連続な関数は考えやすくて嬉しいため以下の形で登場することが多いです。
y={sin⁡xx (x≠0)1        (x=0)y=\begin{cases}
\dfrac{\sin x}{x}\:(x\neq 0) \\
1\:\:\:\:\:\:\:\:(x=0)
\end{cases}y=⎩⎨⎧​xsinx​(x=0)1(x=0)​
上記で証明した
lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1x→0lim​xsinx​=1
 を利用して
x=0x=0x=0
 で連続になるよう調整しています。

sinx/xのグラフy=sin⁡xxy=\dfrac{\sin x}{x}y=xsinx​ のグラフを素早く書く方法を紹介します。
より，一般に
y=f(x)×sin⁡xy=f(x)\times\sin xy=f(x)×sinx
 のグラフは以下の3段階の手順でかけます！
1.
y=f(x),y=−f(x)y=f(x), y=-f(x)y=f(x),y=−f(x)
 のグラフをかく
x=nπx=n\pix=nπ (nnn
は整数)と
xxx
軸の交点に点を打つ。
3. sin⁡x\sin xsinx のグラフを伸縮させながらかく
y=sin⁡xxy=\dfrac{\sin x}{x}y=xsinx​ の場合，f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}f(x)=x1​
 です。上記の手順に従ってグラフをかいてみました。
面倒な微分計算，増減表は必要ありません！この方法はぜひマスターしてください。
y=exsin⁡x,y=excos⁡xy=e^x\sin x,y=e^x\cos xy=exsinx,y=excosx
 なども同様にして簡単にグラフをかくことができます。