sinc 関数：sinx/x について覚えておくべきこと

更新日時 2023/05/05

sinc関数

$y=\dfrac{\sin x}{x}$ は sinc 関数と呼ぶ。

有名関数 $y=\dfrac{\sin x}{x}$ という関数に関連する話題を整理しました。

sinx/x の極限

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$

まずは $\dfrac{\sin x}{x}$ の極限です。非常に有名な公式です。

証明

sinx/xの極限

図において面積に以下の不等式が成立する： $\text{三角形} \ \mathrm{OAB} < \text{扇形} \ \mathrm{OAB} < \text{三角形} \ \mathrm{OBC}$ すなわち， $\dfrac{1}{2}\sin x < \dfrac{1}{2}x < \dfrac{1}{2}\tan x$ となる。両辺を $\sin x$ で割って逆数をとる： $\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1$

ここで， $x \to +0$ とすると， $\cos x\to 1$ なのではさみうちの原理から $\displaystyle\lim_{x\to +0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ である。

また， $\dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{\sin (-x)}{-x}$ なので， $\displaystyle\lim_{x\to -0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ となる。

以上から，

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$

である。

証明の補足

上記の導出方法は有名なので覚えておくとよいでしょう。
図形的性質が使えるのは $x > 0$ の場合だけなのでまわりくどいですが $x \to -0$ の場合も証明しました。
2013年の阪大理系でそのまま出題されています。
$\sin x < x$ は $\sin x$ を上からおさえる公式ですが，下からおさえる有名な不等式もあります。→ジョルダンの不等式とその3通りの証明

sinx/xの拡張

f(x)=sin⁡xxf(x) = \dfrac{\sin x}{x}f(x)=xsinx​ という関数は，厳密には x=0x = 0x=0 で定義されていません。
前述の極限を踏まえると，x=0x = 0x=0 で連続になるよう拡張ができます。これを sinc 関数（シンク関数）といい
sinc (x)={sin⁡xx(x≠0)1(x=0)
\mathrm{sinc}\ (x) 
=\begin{cases}
\dfrac{\sin x}{x} &(x\neq 0) \\
1 &(x=0)
\end{cases}
sinc (x)=⎩⎨⎧​xsinx​1​(x=0)(x=0)​
と定義します。