はさみうちの原理の証明

証明の準備（極限の定義）

まず，高校数学の範囲では極限が厳密に定義されていません。

そこで，まずは極限の定義をきちんとします。

厳密に書くと分かりにくいですが，意味は難しくありません。

「$n$ を大きくすると $a_n$ はいくらでも $\alpha$ に近づく」

→「$n$ が十分大きいなら $|a_n-\alpha|$ はいくらでも $0$ に近づく」

→「どんなに小さい正の数 $\epsilon$ に対しても $n$ が十分大きいなら $|a_n-\alpha| <\epsilon$ となる」

→「任意の正の実数 $\epsilon$ に対して，ある $N$ が存在して $n\geq N$ なら $|a_n-\alpha| <\epsilon$ が成立する」

これで極限の意味が厳密に定義されたので，はさみうちの原理が証明できます。

はさみうちの原理の証明

まずは仮定と目標の式をきちんと表現しておきます。

仮定は，

• $a_n \leq b_n \leq c_n$
• 任意の $\epsilon > 0$ に対してある $N_1$ が存在して $n\geq N_1$ なら $|a_n-\alpha| <\epsilon$
• 任意の $\epsilon > 0$ に対してある $N_2$ が存在して $n\geq N_2$ なら $|c_n-\alpha| <\epsilon$

目標は，

• 任意の $\epsilon > 0$ に対してある $N$ が存在して $n\geq N$ なら $|b_n-\alpha| <\epsilon$

関数版のはさみうちの原理

関数版の場合も数列版とほとんど同様に証明できます。まずは極限の定義から。

関数版のはさみうちの原理：

$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ かつ

$\displaystyle\lim_{x\to A}f(x)=\lim_{x\to A}h(x)=\alpha$ なら

$\displaystyle\lim_{x\to A}g(x)=\alpha$

を示します。

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