はさみうちの原理の証明

更新日時 2022/02/08

はさみうちの原理（数列版）

はさみうちの原理任意の自然数 $n$ に対して（または十分大きな $n$ に対して） $a_n \leq b_n \leq c_n$ が成立し，

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$ なら

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha$

はさみうちの原理の意味・例題・証明をわかりやすく説明します。

はさみうちの原理の意味
証明の準備（極限の定義）
はさみうちの原理の証明
関数版のはさみうちの原理
練習問題

はさみうちの原理の意味

はさみうちの原理は，数列の極限を求めるときに使える定理です。
極限を求めたい数列 $b_n$ よりも小さい数列 $a_n$ と大きい数列 $c_n$ の極限が両方とも $\alpha$ なら，挟まれた $b_n$ の収束先も $\alpha$ になる，という定理です。

例題1

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin n}{n}$ を計算せよ。

解答

$-1\leq\sin n \leq 1$ より， $-\dfrac{1}{n}\leq \dfrac{\sin n}{n}\leq\dfrac{1}{n}$ である。

小さい数列の極限は $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(-\dfrac{1}{n})=0$
大きい数列の極限は $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$

よって，間に挟まれた数列の極限も $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin n}{n}=0$ となる。

はさみうちの原理のことを英語では Squeeze Theorem なども言います。原理と呼ぶことが多いですが「定理」です。
感覚的には当然成り立つであろう定理ですが，以下できちんと証明します（証明には $\epsilon-N$ 論法， $\epsilon-\delta$ 論法という大学数学の道具を用いるので大学入試で問われることはありません）。

証明の準備（極限の定義）はさみうちの原理を証明する準備として，極限の定義をきちんとします。
数列の極限の定義
lim⁡n→∞an=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alphan→∞lim​an​=α
 とは，
「任意の正の実数 ϵ\epsilonϵ に対して，ある NNN が存在して n≥Nn\geq Nn≥N なら ∣an−α∣<ϵ|a_n-\alpha| <\epsilon∣an​−α∣<ϵ が成立する」
厳密に書くと分かりにくいですが，意味は難しくありません。
「nnn
 を大きくすると
ana_nan​
 はいくらでも
α\alphaα
 に近づく」

→「nnn
 が十分大きいなら
∣an−α∣|a_n-\alpha|∣an​−α∣
 はいくらでも
000
 に近づく」

→「どんなに小さい正の数
ϵ\epsilonϵ
 に対しても
nnn
 が十分大きいなら
∣an−α∣<ϵ|a_n-\alpha| <\epsilon∣an​−α∣<ϵ
 となる」

→「任意の正の実数
ϵ\epsilonϵ
 に対して，ある
NNN
 が存在して
n≥Nn\geq Nn≥N
 なら
∣an−α∣<ϵ|a_n-\alpha| <\epsilon∣an​−α∣<ϵ
 が成立する」
これで極限の意味が厳密に定義されたので，はさみうちの原理が証明できます。

はさみうちの原理の証明まずは仮定と目標の式をきちんと表現しておきます。
仮定は，
an≤bn≤cna_n \leq b_n \leq c_nan​≤bn​≤cn​
任意の
ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0
に対してある
N1N_1N1​
が存在して
n≥N1n\geq N_1n≥N1​
なら
∣an−α∣<ϵ|a_n-\alpha| <\epsilon∣an​−α∣<ϵ
任意の
ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0
に対してある
N2N_2N2​
が存在して
n≥N2n\geq N_2n≥N2​
なら
∣cn−α∣<ϵ|c_n-\alpha| <\epsilon∣cn​−α∣<ϵ
目標は，
任意の
ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0
に対してある
NNN
が存在して
n≥Nn\geq Nn≥N
なら
∣bn−α∣<ϵ|b_n-\alpha| <\epsilon∣bn​−α∣<ϵ
証明
仮定の2つ目と3つ目より，
任意の
ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0
 に対して
N>N1,N>N2N > N_1, N > N_2N>N1​,N>N2​
 となるように
NNN
 を取れば
n≥Nn\geq Nn≥N
 なら
an>α−ϵa_n > \alpha-\epsilonan​>α−ϵ
 かつ
cn<α+ϵc_n <\alpha+\epsiloncn​<α+ϵ
仮定の1つめと合わせると
α−ϵ<bn<α+ϵ\alpha-\epsilon <b_n <\alpha+\epsilonα−ϵ<bn​<α+ϵ
つまり，∣bn−α∣<ϵ|b_n-\alpha| <\epsilon∣bn​−α∣<ϵ
よって，はさみうちの原理が示された。

関数版のはさみうちの原理

ここまでは数列の極限を考えましたが，関数の極限についてもはさみうちの原理が成立します。

はさみうちの原理（関数版）

任意の正の実数 $x$ に対して（または十分大きな $x$ に対して） $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ かつ

$\displaystyle\lim_{x\to A}f(x)=\lim_{x\to A}h(x)=\alpha$ なら

$\displaystyle\lim_{x\to A}g(x)=\alpha$

証明も数列版とほとんど同じです。極限の定義をきちんとしておきましょう。

関数の極限の定義

$\displaystyle\lim_{x\to A}f(x)=\alpha$ とは，

「任意の正の実数 $\epsilon$ に対して，ある $\delta > 0$ が存在して $|x-A| <\delta$ なら $|f(x)-\alpha| <\epsilon$ が成立する」

はさみうちの原理（関数版）の証明

仮定より，

任意の $\epsilon > 0$ に対してある $\delta_1 > 0$ が存在して， $|x-A| <\delta_1$ なら $|f(x)-\alpha| <\epsilon$ かつ

ある $\delta_2 > 0$ が存在して $|x-A| <\delta_2$ なら $|h(x)-\alpha| <\epsilon$

よって，

$\delta <\delta_1, \delta <\delta_2$ となるように $\delta > 0$ を取れば

$|x-A| <\delta$ なら

$f(x) > \alpha-\epsilon$ かつ $h(x) <\alpha+\epsilon$

よって， $\alpha-\epsilon <g(x) <\alpha+\epsilon$

つまり， $|g(x)-\alpha| <\epsilon$

練習問題

例題2

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{-x}\sin x$ を計算せよ。

$-e^{-x}\leq e^{-x}\sin x\leq e^{-x}$ であることとはさみうちの原理から，極限値は $0$ になります。これは減衰曲線と呼ばれる重要な曲線です。

$\epsilon-\delta$ 論法が大学数学最初の関門です。高校生のうちに雰囲気だけでも理解しておくとよいでしょう。→イプシロンデルタ論法とイプシロンエヌ論法

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この記事の編集者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！