複素数平面における直線の方程式

$a=A+Bi,\:b=Ci$ とおく。

$z=x+yi\:(x,y$ は実数)とおいて一般形の式に代入すると，

$$(A-Bi)(x+yi)-(A+Bi)(x-yi)+Ci=0$$

これを展開すると，実部は両辺 $0$ になり，虚部を比較すると

$$-2Bx+2Ay+C=0$$

となる。これを満たす $z$ の集合は「直交座標で見たときに $x,\:y$ の一次式を満たす集合」になっているので直線である。

複素数 $\alpha,\beta\:(\alpha\neq\beta)$ で表される二点を通る直線 $l$ の方程式を考える。

$z$ が直線 $l$ 上にある
$\iff \alpha,\:z,\:\beta$ が一直線上にある
$\iff \dfrac{z-\alpha}{\beta-\alpha}$ が実数
$\iff \dfrac{z-\alpha}{\beta-\alpha}=\dfrac{\overline{z}-\overline{\alpha}}{\overline{\beta}-\overline{\alpha}}$
$\iff (z-\alpha)(\overline{\beta}-\overline{\alpha})=(\beta-\alpha)(\overline{z}-\overline{\alpha})$
$\iff (\overline{\alpha}-\overline{\beta})z-(\alpha-\beta)\overline{z}+\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta=0$

これは，$a=\alpha-\beta,\:b=\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta$ とおけば直線の一般形となる。以上の議論は任意の $\alpha,\beta$ に対して成立するので，任意の直線は冒頭の一般形で表される。