実践問題集その１

更新日時 2021/03/07

問題1−1： 100!100! の末尾の 00 の個数を求めよ。

問題1−2： x+1x2x+\dfrac{1}{x^2} の x>0x>0 の範囲での最小値とそのときの xx の値を求めよ。

問題1−3：不定積分 ∫e−2xsin⁡3xdx\displaystyle\int e^{-2x}\sin 3xdx を求めよ。

問題1−4：三角形 ABCABC 内に点 PP があり，2PAundefined+3PBundefined+4PCundefined=0undefined2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0} が成立するとき，三角形 PABPAB の面積は三角形 PBCPBC の面積の何倍になるか求めよ。

問題1−5：四角形 ABCDABCD において，AB=5,BC=6,CD=7,DA=8,∠ABC+∠ADC=180∘AB=5, BC=6, CD=7, DA=8, ∠ABC+∠ADC=180^{\circ} が成立する。四角形 ABCDABCD の面積 SS を求めよ。

目次

解答

1−1の解答

ルジャンドルの定理より，100!100! を 55 で割れる回数は

⌊1005⌋+⌊10025⌋=20+4=24回\Big\lfloor \dfrac{100}{5} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{100}{25} \Big\rfloor=20+4=24回

よって，答えは24個。

1−2の解答

微分法を用いてもよいが，相加相乗平均の不等式を用いる。

x+1x2=x2+x2+1x2≥3x2⋅x2⋅1x23=3143x+\dfrac{1}{x^2}\\=\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{x^2}\\ \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{x}{2}\cdot \dfrac{x}{2}\cdot \dfrac{1}{x^2}}\\ =3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}

等号成立条件は，x2=1x2\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{x^2} つまり，x=23x=\sqrt[3]{2} のとき。

よって，x=23x=\sqrt[3]{2} のとき最小値 31433\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}をとる。

1−3の解答

部分積分を2回行ってゴリゴリ計算してもよい。 指数関数と三角関数の積の積分公式から，

答えは，∫e−2xsin⁡3xdx=\displaystyle\int e^{-2x}\sin 3xdx= −e−2x13(2sin⁡3x+3cos⁡3x)+C-\dfrac{e^{-2x}}{13}(2\sin 3x+3 \cos 3x)+C

1−4の解答

ベクトルと面積比の公式より△ PABPAB :△ PBCPBC =4:2となる。答えは 2倍。

1−5の解答

∠ABC+∠ADC=180∘∠ABC+∠ADC=180^{\circ} より四角形 ABCDABCD は円に内接する四角形である。よってブラーマグプタの公式より，

S=(13−5)(13−6)(13−7)(13−8)=S=\sqrt{(13-5)(13-6)(13-7)(13-8)}= 41054\sqrt{105}

この記事の編集者
マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！

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