実践問題集その１

更新日時 2021/03/07

問題1−1： $100!$ の末尾の $0$ の個数を求めよ。

問題1−2： $x+\dfrac{1}{x^2}$ の $x>0$ の範囲での最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

問題1−3：不定積分 $\displaystyle\int e^{-2x}\sin 3xdx$ を求めよ。

問題1−4：三角形 $ABC$ 内に点 $P$ があり， $2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ が成立するとき，三角形 $PAB$ の面積は三角形 $PBC$ の面積の何倍になるか求めよ。

問題1−5：四角形 $ABCD$ において， $AB=5, BC=6, CD=7, DA=8, ∠ABC+∠ADC=180^{\circ}$ が成立する。四角形 $ABCD$ の面積 $S$ を求めよ。

解答

解答

1−1の解答

ルジャンドルの定理より， $100!$ を $5$ で割れる回数は

$\Big\lfloor \dfrac{100}{5} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{100}{25} \Big\rfloor=20+4=24回$

よって，答えは24個。

1−2の解答

微分法を用いてもよいが，相加相乗平均の不等式を用いる。

$x+\dfrac{1}{x^2}\\=\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{x^2}\\ \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{x}{2}\cdot \dfrac{x}{2}\cdot \dfrac{1}{x^2}}\\ =3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$

等号成立条件は， $\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{x^2}$ つまり， $x=\sqrt[3]{2}$ のとき。

よって， $x=\sqrt[3]{2}$ のとき最小値 $3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$ をとる。

1−3の解答

部分積分を2回行ってゴリゴリ計算してもよい。指数関数と三角関数の積の積分公式から，

答えは， $\displaystyle\int e^{-2x}\sin 3xdx=$ $-\dfrac{e^{-2x}}{13}(2\sin 3x+3 \cos 3x)+C$

1−4の解答

ベクトルと面積比の公式より△ $PAB$ :△ $PBC$ =4:2となる。答えは 2倍。

1−5の解答

$∠ABC+∠ADC=180^{\circ}$ より四角形 $ABCD$ は円に内接する四角形である。よってブラーマグプタの公式より，

$S=\sqrt{(13-5)(13-6)(13-7)(13-8)}=$ $4\sqrt{105}$

この記事の編集者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！