実践問題集その１

ルジャンドルの定理より，$100!$ を $5$ で割れる回数は

$\Big\lfloor \dfrac{100}{5} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{100}{25} \Big\rfloor=20+4=24回$

よって，答えは24個。

微分法を用いてもよいが，相加相乗平均の不等式を用いる。

$x+\dfrac{1}{x^2}\\=\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{x^2}\\ \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{x}{2}\cdot \dfrac{x}{2}\cdot \dfrac{1}{x^2}}\\ =3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$

等号成立条件は，$\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{x^2}$ つまり，$x=\sqrt[3]{2}$ のとき。

よって，$x=\sqrt[3]{2}$ のとき最小値 $3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$をとる。

部分積分を2回行ってゴリゴリ計算してもよい。 指数関数と三角関数の積の積分公式から，

答えは，$\displaystyle\int e^{-2x}\sin 3xdx=$ $-\dfrac{e^{-2x}}{13}(2\sin 3x+3 \cos 3x)+C$

ベクトルと面積比の公式より△ $PAB$ :△ $PBC$ =4:2となる。答えは 2倍。

$∠ABC+∠ADC=180^{\circ}$ より四角形 $ABCD$ は円に内接する四角形である。よってブラーマグプタの公式より，

$S=\sqrt{(13-5)(13-6)(13-7)(13-8)}=$ $4\sqrt{105}$