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実践問題集その1〜高校数学裏技公式集〜

更新日時 2021/03/07

問題1−1: 100!100! の末尾の 00 の個数を求めよ。

問題1−2: x+1x2x+\dfrac{1}{x^2}x>0x>0 の範囲での最小値とそのときの xx の値を求めよ。

問題1−3:不定積分 e2xsin3xdx\displaystyle\int e^{-2x}\sin 3xdx を求めよ。

問題1−4:三角形 ABCABC 内に点 PP があり,2PAundefined+3PBundefined+4PCundefined=0undefined2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0} が成立するとき,三角形 PABPAB の面積は三角形 PBCPBC の面積の何倍になるか求めよ。

問題1−5:四角形 ABCDABCD において,AB=5,BC=6,CD=7,DA=8,ABC+ADC=180AB=5, BC=6, CD=7, DA=8, ∠ABC+∠ADC=180^{\circ} が成立する。四角形 ABCDABCD の面積 SS を求めよ。

目次
  • 解答

解答

1−1の解答

ルジャンドルの定理より,100!100!55 で割れる回数は

1005+10025=20+4=24\Big\lfloor \dfrac{100}{5} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{100}{25} \Big\rfloor=20+4=24回

よって,答えは24個

1−2の解答

微分法を用いてもよいが,相加相乗平均の不等式を用いる。

x+1x2=x2+x2+1x23x2x21x23=3143x+\dfrac{1}{x^2}\\=\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{x^2}\\ \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{x}{2}\cdot \dfrac{x}{2}\cdot \dfrac{1}{x^2}}\\ =3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}

求める最小値は,31433\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}

また,等号成立条件は,x2=1x2\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{x^2}

つまり,x=23x=\sqrt[3]{2} のとき。

1−3の解答

部分積分を2回行ってゴリゴリ計算してもよい。 指数関数と三角関数の積の積分公式から,

答えは,e2xsin3xdx=\displaystyle\int e^{-2x}\sin 3xdx= e2x13(2sin3x+3cos3x)+C-\dfrac{e^{-2x}}{13}(2\sin 3x+3 \cos 3x)+C

1−4の解答

ベクトルと面積比の公式より△ PABPAB :△ PBCPBC =4:2となる。答えは 2倍

1−5の解答

ABC+ADC=180∠ABC+∠ADC=180^{\circ} より四角形 ABCDABCD は円に内接する四角形である。よってブラーマグプタの公式より,

S=(135)(136)(137)(138)=S=\sqrt{(13-5)(13-6)(13-7)(13-8)}= 41054\sqrt{105}

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