ベクトルの定番問題を一瞬で解く公式

更新日時 2021/03/07

ベクトルと面積比

三角形 $ABC$ 内に点 $X$ があり， $p\overrightarrow{XA}+q\overrightarrow{XB}+r\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{0}$

が成立するとき，面積比は

△ $XAB$ ：△ $XBC$ ：△ $XCA＝r:p:q$

この問題は頻出なので結果をそのまま覚えておくとよいでしょう。

公式の導出

証明

$p\overrightarrow{XA}+q\overrightarrow{XB}+r\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{0}$ より，始点を $A$ に変換すると，

$\dfrac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{q+r}$ は線分 $BC$ を $r:q$ に内分する点なので，

△ $XAB$ :△ $XCA=r:q$

が分かる。対称性より残りも同様。

特に $p=q=r$ のときは，点 $X$ は三角形 $ABC$ の重心と一致します。

上記と同様の議論を四面体に適用することにより以下の公式が得られます：

四面体 $ABCD$ 内に点 $X$ があり， $p\overrightarrow{XA}+q\overrightarrow{XB}+r\overrightarrow{XC}+s\overrightarrow{XD}=\overrightarrow{0}$

が成立するとき，四面体の体積比は

$XABC：XBCD：XCDA：XDAB＝s:p:q:r$