ベクトルの定番問題を一瞬で解く公式

$p\overrightarrow{XA}+q\overrightarrow{XB}+r\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{0}$ より，始点を $A$ に変換すると，

$$-p\overrightarrow{AX}+q(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AX})+r(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AX})=\overrightarrow{0}$$

変形すると $$\begin{aligned} \overrightarrow{AX} &= \dfrac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{p+q+r}\\ &= \dfrac{q+r}{p+q+r}\cdot\dfrac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{q+r} \end{aligned}$$ となる。

$\dfrac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{q+r}$ は線分 $BC$ を $r:q$ に内分する点なので，

$$\triangle XAB : \triangle XCA=r:q$$ が分かる。対称性より残りも同様。

1. 与式より $$\overrightarrow{AP}-2(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP})-3(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP})=\overrightarrow{0}$$ であるため，変形すると $$\overrightarrow{AP} = \dfrac{2 \overrightarrow{AB} + 3 \overrightarrow{AC}}{6}$$ となる。

2. 1番より $$\overrightarrow{AP} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{2 \overrightarrow{AB} + 3 \overrightarrow{AC}}{5}$$ となる。$Q$ は $BC$ 上にあるため $$\overrightarrow{AQ} = \dfrac{2 \overrightarrow{AB} + 3 \overrightarrow{AC}}{5}\\ \overrightarrow{AP} = \dfrac{5}{6} \overrightarrow{AQ}$$ となる。よって $$BQ : QC = 3 : 2\\ AP : PQ = 5 : 1$$ となる。