ベクトルの定番問題を一瞬で解く公式

$p\overrightarrow{XA}+q\overrightarrow{XB}+r\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{0}$ より，始点を $A$ に変換すると，

$-p\overrightarrow{AX}+q(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AX})+r(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AX})=\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{AX}=\dfrac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{p+q+r}\\ =\dfrac{q+r}{p+q+r}\cdot\dfrac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{q+r}$

$\dfrac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{q+r}$ は線分 $BC$ を $r:q$ に内分する点なので，

△ $XAB$ :△ $XCA=r:q$

が分かる。対称性より残りも同様。