ベクトルの定番問題を一瞬で解く公式

更新日時 2023/08/01

ベクトルと面積比

三角形 ABCABC 内に点 XX があり,pXAundefined+qXBundefined+rXCundefined=0undefinedp\overrightarrow{XA}+q\overrightarrow{XB}+r\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{0}

が成立するとき,面積比は

XAB:XBC:XCAr:p:q\triangle XAB : \triangle XBC : \triangle XCA=r:p:q

頻出なので,この結果をそのまま覚えておくとよいでしょう。

公式の導出

証明

pXAundefined+qXBundefined+rXCundefined=0undefinedp\overrightarrow{XA}+q\overrightarrow{XB}+r\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{0} より,始点を AA に変換すると,

pAXundefined+q(ABundefinedAXundefined)+r(ACundefinedAXundefined)=0undefined -p\overrightarrow{AX}+q(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AX})+r(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AX})=\overrightarrow{0}

変形すると AXundefined=qABundefined+rACundefinedp+q+r=q+rp+q+rqABundefined+rACundefinedq+r\begin{aligned} \overrightarrow{AX} &= \dfrac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{p+q+r}\\ &= \dfrac{q+r}{p+q+r}\cdot\dfrac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{q+r} \end{aligned} となる。

qABundefined+rACundefinedq+r\dfrac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{q+r} は線分 BCBCr:qr:q に内分する点なので,

XAB:XCA=r:q \triangle XAB : \triangle XCA=r:q が分かる。対称性より残りも同様。

特に p=q=rp=q=r のときは,点 XX は三角形 ABCABC の重心と一致します。

確認の例題

公式の証明での式変形が身についているか,次の問題でチェックしましょう。

例題

三角形 ABCABC の内部に点 PP があり, APundefined+2BPundefined+3CPundefined=0undefined \overrightarrow{AP} + 2 \overrightarrow{BP} + 3 \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0} が成立するとき,次の問いに答えよ。

  1. APundefined\overrightarrow{AP}ABundefined\overrightarrow{AB}ACundefined\overrightarrow{AC} で表せ。

  2. 2直線 APAPBCBC の交点を QQ とする。BQ:QCBQ : QC および AP:PQAP : PQ を求めよ。

面積比は自分でチェックしてください!

解答
  1. 与式より APundefined2(ABundefinedAPundefined)3(ACundefinedAPundefined)=0undefined \overrightarrow{AP}-2(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP})-3(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP})=\overrightarrow{0} であるため,変形すると APundefined=2ABundefined+3ACundefined6 \overrightarrow{AP} = \dfrac{2 \overrightarrow{AB} + 3 \overrightarrow{AC}}{6} となる。

  2. 1番より APundefined=56×2ABundefined+3ACundefined5 \overrightarrow{AP} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{2 \overrightarrow{AB} + 3 \overrightarrow{AC}}{5} となる。QQBCBC 上にあるため AQundefined=2ABundefined+3ACundefined5APundefined=56AQundefined \overrightarrow{AQ} = \dfrac{2 \overrightarrow{AB} + 3 \overrightarrow{AC}}{5}\\ \overrightarrow{AP} = \dfrac{5}{6} \overrightarrow{AQ} となる。よって BQ:QC=3:2AP:PQ=5:1 BQ : QC = 3 : 2\\ AP : PQ = 5 : 1 となる。

→高校数学の問題集 ~最短で得点力を上げるために~のT103では,類題と,この問題で計算ミスをしないためのコツを紹介しています。

3次元への拡張

同様の議論を四面体に適用すると,以下の公式を得ます:

四面体 ABCDABCD 内に点 XX があり,pXAundefined+qXBundefined+rXCundefined+sXDundefined=0undefinedp\overrightarrow{XA}+q\overrightarrow{XB}+r\overrightarrow{XC}+s\overrightarrow{XD}=\overrightarrow{0}

が成立するとき,四面体の体積比は

XABCXBCDXCDAXDABs:p:q:rXABC:XBCD:XCDA:XDAB=s:p:q:r

内分の公式は比率を反対にしてしまいがちなので注意しましょう。

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