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ハノイの塔のルールと最短手数

更新日時 2021/03/07

nn 段のハノイの塔の最短手数は 2n12^n-1

「ハノイの塔」というゲームのルールと解き方を紹介します。

目次
  • ハノイの塔のルール

  • 漸化式を立てる

  • 漸化式を解く

  • 最短手数を達成する方法

ハノイの塔のルール

3本の柱がある。そのうちの1本に nn 段の塔がある(下段ほど大きい,図は n=3n=3 の場合)。

ハノイの塔

  • 目標nn 段の塔を別の柱に移したい。

  • できること:「ある柱の一番上の段を別の柱(の一番上)に移動させる」という操作を何度でもできる。

  • 条件:途中で「小さい段の上に大きい段がある」という状況を作ってはいけない。

以上がハノイの塔のルールです。この記事ではハノイの塔の目標達成に必要な手数の最小値,および実際に最小値を達成する方法を考えてみます。

漸化式を立てる

nn 段の塔を移動させるのに必要な最小手数を ana_n とします。ana_n についての漸化式を立てます。

漸化式の導出

nn 段を移動する」という作業は以下の3つの作業により達成できる。

  1. n1n-1 段を別の柱に移動する

  2. 最下段を(空いている柱が1本あるのでそこに)移動する

  3. n1n-1 段を最下段の上に移動する

逆に「nn 段を移動する」ためにはこの3つの作業が絶対に必要である。

よって,an=an1+1+an1a_n=a_{n-1}+1+a_{n-1}

つまり,an=2an1+1a_n=2a_{n-1}+1

漸化式を解く

初期条件 a1=1a_1=1 を使ってさきほどの漸化式を解きます。

漸化式は

an+1=2(an1+1)a_n+1=2(a_{n-1}+1)

と変形できるので,

an+1a_n+1 という数列は,初項が a1+1=2a_1+1=2,公比が 22 の等比数列である。

よって,an+1=2na_n+1=2^n

したがって,an=2n1a_n=2^n-1

最短手数を達成する方法

「漸化式の導出」から最短手数を達成する再帰的なアルゴリズムを構成できます。

nn 段のハノイの塔に対するアルゴリズム A(n)A(n)

  • n=1n=1 なら1段目を移動するだけ

  • n2n\geq 2 なら A(n1)A(n-1) を用いて n1n-1 段を移動する nn 段目(最下段)を移動する A(n1)A(n-1) を用いて n1n-1 段を nn 段目の上に移動する

高校数学で習う漸化式が役立つ身近な例です。

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