ベクトルの内積を用いた余弦定理の証明

$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta$ とおく。

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta= \text{赤} \times \text{青}$$

同様に，

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}= \text{赤} \times \text{緑}\\ \overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})= \text{赤} \times \text{紫}$$

これと，青＋緑＝紫 より分配法則が成立する。

$$\begin{aligned} a^2&=|\overrightarrow{BC}|^2\\ &=|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}|^2 &(\text{内積の定義})\\ &=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\cdot (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) &(\text{内積の分配法則を用いる})\\ &=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\\ & &(\text{もう一度内積の定義を用いる})\\ &=b^2+c^2-2bc\cos A \end{aligned}$$