タンジェントとそのn乗の不定積分

更新日時 2022/11/09

$\displaystyle \int \tan xdx=-\log |\cos x|+C$

$\displaystyle \int \tan^2 xdx=\tan x-x+C$

$\displaystyle \int \tan^n xdx=\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-\int\tan^{n-2}xdx$

$\tan x,\tan^2x,\tan^n x$ の不定積分についてそれぞれ解説します。いずれもタンジェント特有の技を使います。なお， $C$ は積分定数です。

タンジェントの積分

導出

$\begin{aligned} \int \tan xdx &=\int \dfrac{\sin x}{\cos x}dx\\ &=\int -\dfrac{(\cos x)'}{\cos x}dx\\ &=-\log|\cos x|+C \end{aligned}$

ただし，最終行で $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ の積分が $\log |f(x)|$ になるという重要公式を使いました。この公式は $\{\log |f(x)|\}'=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ から分かりますが，教科書などでは置換積分の特殊系と説明されることが多いです。

タンジェントの二乗の積分

導出

$\begin{aligned} &\int \tan^2xdx\\ &=\int \left(\dfrac{1}{\cos^2x}-1\right)dx\\ &=\tan x-x+C \end{aligned}$

最初の変形では三角関数の公式： $1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$ を用いました。最終行への変形では $(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}$ を用いました。

タンジェントのn乗の積分（漸化式）

n乗の積分は部分積分で漸化式を作るのが定石です。→sinのn乗，cosのn乗の積分公式

しかし， $\tan^nx$ の場合，部分積分ではうまくいきません（ $\tan$ を積分すると $-\log |\cos|$ ， $\tan^2x$ を積分すると $-x$ という余計なものが出てきてしまう）。そこで， $\tan^2x$ の積分でも活躍した公式を使って変形していきます。

導出

$\begin{aligned} &\int\tan^nxdx\\ &=\int\left(\dfrac{1}{\cos^2x}-1\right)\tan^{n-2}xdx\\ &=\int\dfrac{\tan^{n-2}x}{\cos^2x}dx-\int\tan^{n-2}xdx \end{aligned}$

ここで， $(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}$ に注意すると第一項は

$\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x$ と計算できる。

つまり， $\displaystyle \int \tan^n xdx=\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-\int\tan^{n-2}xdx$

明示的に書く

$\tan^nx$ の積分と $\tan^{n-2}x$ の積分の関係が導けたので，これを繰り返し使うことで $\tan^nx$ の不定積分を明示的に書けます。

$n$ が奇数のとき（ $2k+1$ のとき） $\begin{aligned} &\int \tan^{2k+1}xdx\\ &=\dfrac{1}{2k}\tan^{2k}x-\int \tan^{2k-1}xdx\\ &=\cdots\\ &=\sum_{t=0}^{k-1} (-1)^t\dfrac{\tan^{2(k-t)}x}{2(k-t)}+(-1)^k\int\tan xdx\\ &=\sum_{t=1}^{k} (-1)^{k-t}\dfrac{\tan^{2t}x}{2t}+(-1)^{k+1}\log|\cos x|+C \end{aligned}$
$n$ が偶数のとき（ $n = 2k$ と表す） $\begin{aligned} &\int\tan^{2k}dx\\ &=\dfrac{1}{2k-1}\tan^{2k-1}x-\int \tan^{2k-2}xdx\\ &=\cdots\\ &=\sum_{t=0}^{k-1} (-1)^t\dfrac{\tan^{2(k-t)-1}x}{2(k-t)-1}+(-1)^{k}\int 1dx\\ &= \sum_{t=1}^k(-1)^{k-t}\dfrac{\tan^{2t-1}x}{2t-1}+(-1)^kx+C \end{aligned}$

こうして $\begin{aligned} &\int \tan^{n}xdx\\ &= \begin{cases} \displaystyle \sum_{t=1}^{k} (-1)^{k-t}\dfrac{\tan^{2t}x}{2t}+(-1)^{k+1}\log|\cos x| &(n \text{は奇数})\\ \displaystyle \sum_{t=1}^k(-1)^{k-t}\dfrac{\tan^{2t-1}x}{2t-1}+(-1)^kx &(n \text{は偶数}) \end{cases} \end{aligned}$ が得られます。なお，積分定数は省略しました。