タンジェントとそのn乗の不定積分

• $n$ が奇数のとき（$n=2k+1$ と表す） $$\begin{aligned} &\int \tan^{2k+1}xdx\\ &=\dfrac{1}{2k}\tan^{2k}x-\int \tan^{2k-1}xdx\\ &=\cdots\\ &=\sum_{t=0}^{k-1} (-1)^t\dfrac{\tan^{2(k-t)}x}{2(k-t)}+(-1)^k\int\tan xdx\\ &=\sum_{t=1}^{k} (-1)^{k-t}\dfrac{\tan^{2t}x}{2t}+(-1)^{k+1}\log|\cos x|+C \end{aligned}$$

• $n$ が偶数のとき（$n = 2k$ と表す） $$\begin{aligned} &\int\tan^{2k}dx\\ &=\dfrac{1}{2k-1}\tan^{2k-1}x-\int \tan^{2k-2}xdx\\ &=\cdots\\ &=\sum_{t=0}^{k-1} (-1)^t\dfrac{\tan^{2(k-t)-1}x}{2(k-t)-1}+(-1)^{k}\int 1dx\\ &= \sum_{t=1}^k(-1)^{k-t}\dfrac{\tan^{2t-1}x}{2t-1}+(-1)^kx+C \end{aligned}$$

こうして $$\begin{aligned} &\int \tan^{n}xdx\\ &= \begin{cases} \displaystyle \sum_{t=1}^{k} (-1)^{k-t}\dfrac{\tan^{2t}x}{2t}+(-1)^{k+1}\log|\cos x| &(n \text{は奇数})\\ \displaystyle \sum_{t=1}^k(-1)^{k-t}\dfrac{\tan^{2t-1}x}{2t-1}+(-1)^kx &(n \text{は偶数}) \end{cases} \end{aligned}$$ が得られます。なお，積分定数は省略しました。