タンジェントとそのn乗の不定積分
の不定積分についてそれぞれ解説します。いずれもタンジェント特有の技を使います。なお, は積分定数です。
タンジェントの積分
タンジェントの二乗の積分
タンジェントのn乗の積分(漸化式)
明示的に書く
タンジェントの積分
ただし,最終行で の積分が になるという重要公式を使いました。この公式は から分かりますが,教科書などでは置換積分の特殊系と説明されることが多いです。
タンジェントの二乗の積分
最初の変形では三角関数の公式: を用いました。最終行への変形では を用いました。
タンジェントのn乗の積分(漸化式)
n乗の積分は部分積分で漸化式を作るのが定石です。→sinのn乗,cosのn乗の積分公式
しかし, の場合,部分積分ではうまくいきません( を積分すると , を積分すると という余計なものが出てきてしまう)。そこで, の積分でも活躍した公式を使って変形していきます。
ここで, に注意すると第一項は
と計算できる。
つまり,
明示的に書く
の積分と の積分の関係が導けたので,これを繰り返し使うことで の不定積分を明示的に書くことができます。
・ が奇数 のとき,
・ が偶数 のとき,
奇数側の末尾には ,偶数側の末尾には がつくのが面白いです。
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