タンジェントとそのn乗の不定積分

更新日時 2022/11/09

tanxdx=logcosx+C\displaystyle \int \tan xdx=-\log |\cos x|+C

tan2xdx=tanxx+C\displaystyle \int \tan^2 xdx=\tan x-x+C

tannxdx=1n1tann1xtann2xdx\displaystyle \int \tan^n xdx=\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-\int\tan^{n-2}xdx

tanx,tan2x,tannx\tan x,\tan^2x,\tan^n x の不定積分についてそれぞれ解説します。いずれもタンジェント特有の技を使います。なお,CC は積分定数です。

目次
  • タンジェントの積分

  • タンジェントの二乗の積分

  • タンジェントのn乗の積分(漸化式)

  • 明示的に書く

タンジェントの積分

導出

tanxdx=sinxcosxdx=(cosx)cosxdx=logcosx+C\begin{aligned} \int \tan xdx &=\int \dfrac{\sin x}{\cos x}dx\\ &=\int -\dfrac{(\cos x)'}{\cos x}dx\\ &=-\log|\cos x|+C \end{aligned}

ただし,最終行で f(x)f(x)\dfrac{f'(x)}{f(x)} の積分が logf(x)\log |f(x)| になるという重要公式を使いました。この公式は {logf(x)}=f(x)f(x)\{\log |f(x)|\}'=\dfrac{f'(x)}{f(x)} から分かりますが,教科書などでは置換積分の特殊系と説明されることが多いです。

タンジェントの二乗の積分

導出

tan2xdx=(1cos2x1)dx=tanxx+C\begin{aligned} &\int \tan^2xdx\\ &=\int \left(\dfrac{1}{\cos^2x}-1\right)dx\\ &=\tan x-x+C \end{aligned}

最初の変形では三角関数の公式: 1+tan2x=1cos2x1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x} を用いました。最終行への変形では (tanx)=1cos2x(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x} を用いました。

タンジェントのn乗の積分(漸化式)

n乗の積分は部分積分で漸化式を作るのが定石です。→sinのn乗,cosのn乗の積分公式

しかし,tannx\tan^nx の場合,部分積分ではうまくいきません(tan\tan を積分すると logcos-\log |\cos|tan2x\tan^2x を積分すると x-x という余計なものが出てきてしまう)。そこで,tan2x\tan^2x の積分でも活躍した公式を使って変形していきます。

導出

tannxdx=(1cos2x1)tann2xdx=tann2xcos2xdxtann2xdx\begin{aligned} &\int\tan^nxdx\\ &=\int\left(\dfrac{1}{\cos^2x}-1\right)\tan^{n-2}xdx\\ &=\int\dfrac{\tan^{n-2}x}{\cos^2x}dx-\int\tan^{n-2}xdx \end{aligned}

ここで,(tanx)=1cos2x(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x} に注意すると第一項は

1n1tann1x\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x と計算できる。

つまり,tannxdx=1n1tann1xtann2xdx\displaystyle \int \tan^n xdx=\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-\int\tan^{n-2}xdx

明示的に書く

tannx\tan^nx の積分と tann2x\tan^{n-2}x の積分の関係が導けたので,これを繰り返し使うことで tannx\tan^nx の不定積分を明示的に書けます。

  • nn が奇数のとき(2k+12k+1 のとき) tan2k+1xdx=12ktan2kxtan2k1xdx==t=0k1(1)ttan2(kt)x2(kt)+(1)ktanxdx=t=1k(1)kttan2tx2t+(1)k+1logcosx+C\begin{aligned} &\int \tan^{2k+1}xdx\\ &=\dfrac{1}{2k}\tan^{2k}x-\int \tan^{2k-1}xdx\\ &=\cdots\\ &=\sum_{t=0}^{k-1} (-1)^t\dfrac{\tan^{2(k-t)}x}{2(k-t)}+(-1)^k\int\tan xdx\\ &=\sum_{t=1}^{k} (-1)^{k-t}\dfrac{\tan^{2t}x}{2t}+(-1)^{k+1}\log|\cos x|+C \end{aligned}

  • nn が偶数のとき(n=2kn = 2k と表す) tan2kdx=12k1tan2k1xtan2k2xdx==t=0k1(1)ttan2(kt)1x2(kt)1+(1)k1dx=t=1k(1)kttan2t1x2t1+(1)kx+C\begin{aligned} &\int\tan^{2k}dx\\ &=\dfrac{1}{2k-1}\tan^{2k-1}x-\int \tan^{2k-2}xdx\\ &=\cdots\\ &=\sum_{t=0}^{k-1} (-1)^t\dfrac{\tan^{2(k-t)-1}x}{2(k-t)-1}+(-1)^{k}\int 1dx\\ &= \sum_{t=1}^k(-1)^{k-t}\dfrac{\tan^{2t-1}x}{2t-1}+(-1)^kx+C \end{aligned}

こうして tannxdx={t=1k(1)kttan2tx2t+(1)k+1logcosx(nは奇数)t=1k(1)kttan2t1x2t1+(1)kx(nは偶数)\begin{aligned} &\int \tan^{n}xdx\\ &= \begin{cases} \displaystyle \sum_{t=1}^{k} (-1)^{k-t}\dfrac{\tan^{2t}x}{2t}+(-1)^{k+1}\log|\cos x| &(n \text{は奇数})\\ \displaystyle \sum_{t=1}^k(-1)^{k-t}\dfrac{\tan^{2t-1}x}{2t-1}+(-1)^kx &(n \text{は偶数}) \end{cases} \end{aligned} が得られます。なお,積分定数は省略しました。

奇数側の末尾には logcosx\log|\cos x|,偶数側の末尾には xx がつくのが面白いです。

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