方程式，恒等式

1. $f\left(\alpha\right)=0$ を満たす有理数 $\alpha$ を頑張って見つける。
2. 左辺を $\left(x-\alpha\right)$ で割る
3. 二次方程式になるまで上記を繰り返す。二次方程式は解の公式か因数分解で解ける。

恒等式とは「変数がどのような値のときにも成立する等式」のことです。

二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解を $\alpha,\:\beta$ とおくと，

$\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\:\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$

が成立する。これを解と係数の関係と言う。

多項式 $P(x)$ を $(x-a)$ で割った余りは $P(a)$

$ax^2+bx+c=0\:(a\neq 0)$ の解は，

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

1. 方程式を満たす有理数 $\alpha$ を頑張って1つ探す
2. 左辺を $(x-\alpha)$ で割って因数分解する
3. 残った二次方程式を解く

• $D > 0\iff$ 異なる実数解2つ
• $D=0\iff$ 実数解を1つ（重解）
• $D <0\iff$ 実数解なし

偶数次（$2n$ 次）の相反方程式は $x+\dfrac{1}{x}=t$ とおくことによって $t$ についての $n$ 次方程式に帰着できる。

逆関数とは，ある関数に対して「もとにもどす」関数のこと

三次方程式： $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の解を $\alpha,\beta,\gamma$ とおくと，

$\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}$

$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}$

$\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}$

方程式において，文字定数を片側に集める変形を定数分離と言うことがあります。

定数分離の例. $x^2-2x-a=0$ という $x$ についての方程式を $x^2-2x=a$ と変形する。

$a,b$ は正の実数とする。$xy$ 平面上に曲線 $C_1: y=(x-a)^2$，$C_2: y = b-x^2$ がある。点 $P$ を $(a,0)$ とする。

以下の問いに答えよ。

(1) $C_1$ と $C_2$ が異なる2つの交点を持つ条件を $a,b$ の不等式により表せ。

(2) 以下 $a,b$ は(1)で求めた条件を満たすものとする。$P_1,P_2$ を $C_1$ と $C_2$　の交点とする。ただし $P_1$ を $x$ 座標の小さいほうとする。今，$b$ を固定したとき $\angle P_1 P P_2 = 90^{\circ}$ となるような $a$ が存在する。$b$ の値の範囲を求めよ。

(3) 今，$\angle P_1 P P_2 = 90^{\circ}$ を満たしているとする。$P,P_1,P_2$ を通る円を $C$ とする。$C$ と $y$ 軸の交点の座標を $b$ を用いて求めよ。

(4) 円 $C$ の中心を $Q$ とおく。$\triangle OP_2Q$ が正三角形であるとする。このとき $b$ の値を求めよ。

$ax^3+bx^2+cx+d=0$ の解は，$a\neq 0$ のもとで，以下の3つ：

$$x=-\dfrac{b}{3a}-\sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B}$$ $$x=-\dfrac{b}{3a}-\omega\sqrt[3]{A}-\omega^2\sqrt[3]{B}$$ $$x=-\dfrac{b}{3a}-\omega^2\sqrt[3]{A}-\omega\sqrt[3]{B}$$ ただし， $$p=\dfrac{-b^2+3ac}{3a^2},q=\dfrac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$$ $$A=\dfrac{3\sqrt{3}q+\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}$$ $$B=\dfrac{3\sqrt{3}q-\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}$$ $$\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

複素数係数の $n$ 次方程式は，複素数の範囲で（重複度も含めて）$n$ 個の解を持つ。

$a,b$ を有理数，$k$ を平方因子を持たない（同じ素数で2回以上割り切れない）$2$ 以上の整数とする。このとき，

$a+b\sqrt{k}$ と $a-b\sqrt{k}$ は互いに共役であるという。

多項式 $f(x)$ について，$f(a)=0$ なら，$f(x)$ は $(x-a)$ を因数に持つ。

三次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の解を $\alpha,\beta,\gamma$ とおく。このとき，判別式を， $$D=a^4(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2$$ とする。

$\displaystyle\sum_{k=1}^na_kb_k=A_nb_n-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_{k+1}-b_k)$

ただし，$A_k=\displaystyle\sum_{i=1}^ka_i$

$x$ 座標が相異なる $n+1$ 点 $(x_1,y_1), (x_2,y_2),\cdots,(x_{n+1},y_{n+1})$ を通る $n$ 次以下の関数 $y=P(x)$ が1つ定まり，以下の式で表される：

$P(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}y_i\dfrac{f_i(x)}{f_i(x_i)}$

ただし，$f_i(x)=\displaystyle\prod_{k\neq i}(x-x_k)$

ある素数 $p$ が存在して以下の3つの条件を満たすとき，整数係数多項式 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$$ を（整数係数の範囲でできるとこまで）因数分解すると必ず $k$ 次式以上の因数がでてくる。

• $a_0$ は $p$ の倍数だが $p^2$ の倍数でない
• $a_1$ から $a_{k-1}$ まで全て $p$ の倍数
• $a_k$ は $p$ の倍数でない

降べきの順に整理された多項式 $f(x)$ の係数の符号変化回数を $k$ とする。

このとき，$f(x)=0$ の実数解のうち正のものの個数は，重複度込みで $k,\:k-2,\:k-4,\cdots,$ のいずれか。