1. 高校数学の美しい物語
  2. 方程式,恒等式

方程式,恒等式

    更新日時 2021/03/11

    相反方程式とその解き方

    定期試験や入試で出題される3次以上の方程式は以下の3つのタイプに分けることができる。

    • タイプ1:そのまま因数分解して解く方程式

    • タイプ2:相反方程式

    • タイプ3:複二次式(複 nn 次式)

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    アーベルの総和公式とその意味

    アーベルの総和公式:

    k=1nakbk=Anbnk=1n1Ak(bk+1bk)\displaystyle\sum_{k=1}^na_kb_k=A_nb_n-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_{k+1}-b_k)

    ただし,表記簡略化のために Ak=i=1kaiA_k=\displaystyle\sum_{i=1}^ka_i とおいた。

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    ラグランジュの補間公式とその応用例

    ラグランジュの補間公式:

    xx 座標が相異なる n+1n+1(x1,y1),(x2,y2),,(xn+1,yn+1)(x_1,y_1), (x_2,y_2),\cdots,(x_{n+1},y_{n+1}) を通る nn 次以下の多項式 P(x)P(x) が1つ定まり,以下の式で表される:

    P(x)=i=1n+1yifi(x)fi(xi)P(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}y_i\dfrac{f_i(x)}{f_i(x_i)}

    ただし,fi(x)=ki(xxk)f_i(x)=\displaystyle\prod_{k\neq i}(x-x_k)

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    方程式の有理数解

    定理:

    整数係数多項式 =0=0 の形の方程式が有理数解 qp\dfrac{q}{p} を持つなら,

    pp は最高次の係数の約数であり,qq は定数項の約数である。

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    アイゼンシュタインの定理

    少し長い定理ですが,高校数学の範囲でもしばしば活躍する定理です!

    アイゼンシュタイン(Eisenstein)の既約判定定理:

    ある素数 pp が存在して以下の3つの条件を満たすとき, 整数係数多項式 f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0 を(整数係数の範囲でできるとこまで)因数分解すると必ず kk 次式以上の因数がでてくる。

    • a0a_0pp の倍数だが p2p^2 の倍数でない
    • a1a_1 から ak1a_{k-1} まで全て pp の倍数
    • aka_kpp の倍数でない

    特に,k=nk=nの場合に3つの条件を満たす式は既約(それ以上因数分解できない)です。

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    逆関数の3つの定義と使い分け

    逆関数には3つの定義(特徴付け)が存在します。このページでは,逆関数について,3つの特徴を意識しつつ,基礎から詳しく解説します。

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    代数学の基本定理とその初等的な証明

    代数学の基本定理:

    複素数係数の nn 次方程式は複素数の範囲で(重複度も含めて)nn 個の解を持つ。

    高校範囲でも暗黙の了解として使っている偉大な定理です。

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    方程式を解く数学オリンピックの問題

    JMOの予選をはじめ,数学オリンピックでは(連立)方程式を解く問題がたまに出題されます。

    普通の連立方程式と違い,機械的に解くことはできません。いずれも係数の特殊性を利用して解くので,問題の構造を見出す必要があります。

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    デカルトの符号法則

    デカルトの符号法則: 降べきの順に整理された多項式 f(x)f(x) の係数の符号変化回数を kk とする。

    このとき,f(x)=0f(x)=0 の実数解のうち正のものの個数は,重複度込みで k,k2,k4,,k,\:k-2,\:k-4,\cdots, のいずれか。

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    二次方程式における解と係数の関係

    二次方程式 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 の解を α,β\alpha,\:\beta とおくと,

    α+β=ba,αβ=ca\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\:\alpha\beta=\dfrac{c}{a}

    が成立する。これを解と係数の関係と言う。

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    共役無理数に関する二つの定理

    共役無理数: a,ba,b を有理数,kk を平方因子を持たない(同じ素数で2回以上割り切れない)22 以上の整数とする。このとき,

    a+bka+b\sqrt{k}abka-b\sqrt{k} は互いに共役であるという。

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    剰余の定理の証明と応用

    剰余の定理とは,多項式を (xa)(x-a) で割ったときの余りを計算するための定理。

    この記事では, 剰余の定理の意味剰余の定理の証明 について解説します。 難しめの応用問題 についても紹介します。

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    因数定理とその重解バージョンの証明

    因数定理:

    多項式 f(x)f(x)(xa)(x-a) を因数に持つ     f(a)=0\iff f(a)=0

    教科書にも登場するおなじみの因数定理です。この記事では因数定理とその拡張を証明します。

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    三次方程式の判別式の意味と使い方

    三次方程式の判別式の定義:

    三次方程式 ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d=0 の解を α,β,γ\alpha,\beta,\gamma とおく。このとき,判別式を, D=a4(αβ)2(βγ)2(γα)2D=a^4(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2

    とする。

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    二次方程式の解の公式の3通りの証明

    二次方程式の解の公式:

    ax2+bx+c=0(a0)ax^2+bx+c=0\:(a\neq 0) の解は, x=b±b24ac2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

    中学校で習う超基礎的で重要な公式です。

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    定数分離の考え方と例題3問

    定数分離:

    f(x,a)=0f(x,a)=0g(x)=ag(x)=a という形に変形すると見通しがよくなることがある。

    入試数学の基本的なテクニック「定数分離」について,例題を通じて解説します。

    → 定数分離の考え方と例題3問

    終結式の定義といくつかの性質

    二つの多項式に対して定義される終結式(リザルタント,Resultant)について。定義および美しい定理を二つ解説します。

    → 終結式の定義といくつかの性質

    超幾何級数の定義と例

    この記事では,超幾何級数について紹介します。いくつか例を見ながら,超幾何級数に慣れ親しみましょう。

    → 超幾何級数の定義と例

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