方程式，恒等式

定期試験や入試で出題される3次以上の方程式は以下の3つのタイプに分けることができる。

• タイプ1：そのまま因数分解して解く方程式

• タイプ2：相反方程式

• タイプ3：複二次式（複 $n$ 次式）

アーベルの総和公式：

$\displaystyle\sum_{k=1}^na_kb_k=A_nb_n-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_{k+1}-b_k)$

ただし，表記簡略化のために $A_k=\displaystyle\sum_{i=1}^ka_i$ とおいた。

ラグランジュの補間公式：

$x$ 座標が相異なる $n+1$ 点 $(x_1,y_1), (x_2,y_2),\cdots,(x_{n+1},y_{n+1})$ を通る $n$ 次以下の多項式 $P(x)$ が1つ定まり，以下の式で表される：

$P(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}y_i\dfrac{f_i(x)}{f_i(x_i)}$

ただし，$f_i(x)=\displaystyle\prod_{k\neq i}(x-x_k)$

定理：

整数係数多項式 $=0$ の形の方程式が有理数解 $\dfrac{q}{p}$ を持つなら，

$p$ は最高次の係数の約数であり，$q$ は定数項の約数である。

アイゼンシュタイン（Eisenstein）の既約判定定理：

ある素数 $p$ が存在して以下の3つの条件を満たすとき， 整数係数多項式 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ を（整数係数の範囲でできるとこまで）因数分解すると必ず $k$ 次式以上の因数がでてくる。

• $a_0$ は $p$ の倍数だが $p^2$ の倍数でない
• $a_1$ から $a_{k-1}$ まで全て $p$ の倍数
• $a_k$ が $p$ の倍数でない

代数学の基本定理：

複素数係数の $n$ 次方程式は複素数の範囲で（重複度も含めて）$n$ 個の解を持つ。

デカルトの符号法則： 降べきの順に整理された多項式 $f(x)$ の係数の符号変化回数を $k$ とする。

このとき，$f(x)=0$ の実数解のうち正のものの個数は，重複度込みで $k,\:k-2,\:k-4,\cdots,$ のいずれか。

二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解を $\alpha,\:\beta$ とおくと，

$\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\:\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$

が成立する。これを解と係数の関係と言う。

一次連立方程式は代入法，加減法のいずれでも解けるが，クラメルの公式でも解ける。検算用に覚えておくとよい。

判別式とは，$ax^2+bx+c$ に対して $b^2-4ac$ のこと。

共役無理数： $a,b$ を有理数，$k$ を平方因子を持たない（同じ素数で2回以上割り切れない）$2$ 以上の整数とする。このとき，

$a+b\sqrt{k}$ と $a-b\sqrt{k}$ は互いに共役であるという。

剰余の定理とは，多項式を $(x-a)$ で割ったときの余りを計算するための定理。

因数定理：

多項式 $f(x)$ が $(x-a)$ を因数に持つ $\iff f(a)=0$

三次方程式の判別式の定義：

三次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の解を $\alpha,\beta,\gamma$ とおく。このとき，判別式を， $D=a^4(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2$

とする。

二次方程式の解の公式：

$ax^2+bx+c=0\:(a\neq 0)$ の解は， $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

定数分離：

$f(x,a)=0$ を $g(x)=a$ という形に変形すると見通しがよくなることがある。

数値代入法を使うときは十分性の確認が必要。