方程式,恒等式
相反方程式とその解き方
定期試験や入試で出題される3次以上の方程式は以下の3つのタイプに分けることができる。
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タイプ1:そのまま因数分解して解く方程式
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タイプ2:相反方程式
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タイプ3:複二次式(複 次式)
アイゼンシュタインの定理
少し長い定理ですが,高校数学の範囲でもしばしば活躍する定理です!
アイゼンシュタイン(Eisenstein)の既約判定定理:
ある素数 が存在して以下の3つの条件を満たすとき, 整数係数多項式 を(整数係数の範囲でできるとこまで)因数分解すると必ず 次式以上の因数がでてくる。
- は の倍数だが の倍数でない
- から まで全て の倍数
- が の倍数でない
特に,の場合に3つの条件を満たす式は既約(それ以上因数分解できない)です。
代数学の基本定理とその初等的な証明
代数学の基本定理:
複素数係数の 次方程式は複素数の範囲で(重複度も含めて) 個の解を持つ。
高校範囲でも暗黙の了解として使っている偉大な定理です。
方程式を解く数学オリンピックの問題
JMOの予選をはじめ,数学オリンピックでは(連立)方程式を解く問題がたまに出題されます。
普通の連立方程式と違い,機械的に解くことはできません。いずれも係数の特殊性を利用して解くので,問題の構造を見出す必要があります。
デカルトの符号法則
デカルトの符号法則: 降べきの順に整理された多項式 の係数の符号変化回数を とする。
このとき, の実数解のうち正のものの個数は,重複度込みで のいずれか。
連立方程式の発展的な解き方(検算テクニック)
一次連立方程式は代入法,加減法のいずれでも解けるが,クラメルの公式でも解ける。検算用に覚えておくとよい。
共役無理数に関する二つの定理
共役無理数: を有理数, を平方因子を持たない(同じ素数で2回以上割り切れない) 以上の整数とする。このとき,
と は互いに共役であるという。
剰余の定理:やさしい例題・証明・むずかしい応用問題まで
剰余の定理とは,多項式を で割ったときの余りを計算するための定理。
この記事では, 剰余の定理の意味 や 剰余の定理の証明 について解説します。 難しめの応用問題 についても紹介します。
因数定理の意味と因数分解への応用・重解バージョンの証明
因数定理:
多項式 が を因数に持つ
教科書にも登場するおなじみの因数定理です。この記事では因数定理とその拡張を証明します。
三次,四次,n次方程式の解と係数の関係とその証明
三次,四次, 次方程式の解と係数の関係とその証明について解説します。三変数,四変数の基本対称式が登場。
定数分離の考え方と例題3問
定数分離:
を という形に変形すると見通しがよくなることがある。
入試数学の基本的なテクニック「定数分離」について,例題を通じて解説します。