ラグランジュの補間公式とその応用例
ラグランジュの補間公式:
座標が相異なる 点 を通る 次以下の多項式 が1つ定まり,以下の式で表される:
ただし,
ラグランジュの補間公式
ラグランジュ補間の応用例その1
ラグランジュの補間公式の応用例その2
ラグランジュの補間公式
いきなり一般形を見ても複雑で意味がつかみにくいと思うので, の場合を書き下してみます:
右辺は 次多項式となっており,例えば右辺に を代入すると第一項は ,残りの項は になるので を通ります。
同様に も通ることも分かるので, が指定された 点を通る二次関数であることが分かります。
ちなみに,通る 点から 次以下の多項式が1つ定まるのは因数定理を用いて証明できます。 →二次関数の決定とその背景
ラグランジュ補間の応用例その1
応用例として,IMO 1981のShortlist から1問紹介します。
次多項式 が, に対して
を満たすとき を求めよ。
方針:通る 点が明示されているのでラグランジュの補間公式を用いて を求めることができます。多少計算はゴツイですが,機械的な計算で解答できます。
本問では補間点は である。
まずはラグランジュの補間公式における を求める。
求めるのは なので,次に を計算する。
よって,ラグランジュの補間公式から, に注意すると,
これは が偶数のときに で奇数のとき となる。
ラグランジュの補間公式の応用例その2
次は,USAMO(アメリカ数学オリンピック)の問題です。ラグランジュの補間公式は実際に多項式を求めるためだけでなく,多項式の存在を示すときにも使われます。
任意の 次モニック多項式(最高次の係数が1の多項式) が, 個の実根を持つ2つの 次モニック多項式の和で表されることを示せ。
方針: 個の実根を持つ多項式を構成するのが難しいところです。中間値の定理より,十分振動する関数(正負を行き来する関数)を構成すればよいわけです。
ラグランジュの補間公式より, を通る 次以下の関数 が存在する。ここで, を が奇数のとき十分大きな数,偶数のときに十分小さな数とすれば は激しく振動する。
これを利用して 個の実根を持つ 次モニック多項式を以下のように構成する:
あとは が 個の実根を持つことを示せば良い。
実際 などから中間値の定理より は実根を 個持つが,残り1つの根も実数である。(複素数が解なら共役複素数も解になる→共役複素数の覚えておくべき性質)
また, の値が無視できるくらい を激しく振動させれば も激しく振動して同様な議論により実根を 個持つことが分かる。
※厳密にはどれくらい を大きく取ればよいか議論する必要があります。
ちなみにラグランジュ補間は情報理論にも応用があります!→(k,n)しきい値法とシャミアの秘密分散法
USAMOの問題は非常に歯ごたえがあります
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