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共役複素数の覚えておくべき性質

更新日時 2021/03/07
共役複素数の定義

複素数 zz について,虚部を (1)(-1) 倍した複素数のことを,共役な複素数と言い,z\overline{z} で表すことが多い。例えば,2+3i2+3i の共役な複素数は 23i2-3i

この記事では「複素数の共役」に関連する重要な2つの性質について解説します。

目次
  • 共役複素数とは

  • 共役複素数の性質1

  • 共役複素数の性質2

共役複素数とは

複素数 a+bia+bi (ただし (a,b)(a, b) は実数)に対して abia-bi を共役複素数と言います。共役は「きょうえき」ではなく「きょうやく」と読みます。

  • 2+3i2+3i の共役複素数は 23i2-3i です。

  • 2i2i の共役複素数は 2i-2i です。

  • 33 の共役複素数は 33 です(虚部だけをマイナスにするので,実数 aa の共役複素数は aa 自身です)。

共役複素数の性質1

共役複素数を上記のように定義すると,いろいろ嬉しいことがあります。このページでは共役複素数に関して大事な性質を2つ紹介します。

以下では,複素数 zz の共役複素数を z\overline{z} と表します。

共役複素数の性質1

任意の複素数 z=a+biz=a+bi に対して,zzz\overline{z} は非負実数。

例えば,2+3i2+3i と,その共役な複素数 23i2-3i の積は,

(2+3i)(23i)=22+32=13(2+3i)(2-3i)=2^2+3^2=13

となります。

より一般に,a+bia+biabia-bi の積は,

(a+bi)(abi)=a2+b20(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\geq 0

となります。

この性質は,分母に複素数が含まれている場合の実数化をはじめ,複素数が絡む多くの問題で用いられます。基本的な公式ですが,非常に重要です。

共役複素数の性質2

共役複素数の性質2

実数係数多項式 =0=0 という方程式

k=0nakxk=0\displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^k=0

に関して,zz が解なら z\overline{z} も解である。

非常に大事な性質です。導出方法も合わせて覚えておくと良いでしょう。

まず,n=2n=2 の場合を考えます。二次方程式の解の公式から,2つの解は「共に実数」または「p+qi,pqip+qi,p-qi という形」になることがわかります。

次に,n=3n=3 の場合に,上の性質を適用してみます。実数係数の3次方程式は,3つの解が全て実数,または p+qi,pqi,rp+qi,p-qi,r(ただし,p,q,rp,q,r は実数)と表せるということです。頻出です。

性質2が一般の nn で成立することを,3段階にわけて証明します。 知らないと思いつくのは難しい証明です。

証明

(i)任意の複素数 w,zw,z に対して wz=wz\overline{wz}=\overline{w}\cdot\overline{z}

これは,以下の式変形により示せる:

(a+bi)(c+di)=acbd+i(ad+bc)=(acbd)i(ad+bc)=(abi)(cdi)\overline{(a+bi)(c+di)}\\ =\overline{ac-bd+i(ad+bc)}\\ =(ac-bd)-i(ad+bc)\\ =(a-bi)(c-di)

(ii)任意の複素数 w,zw,z に対して w+z=w+z\overline{w+z}=\overline{w}+\overline{z}

これは,以下の式変形により示せる:

(a+bi)+(c+di)=a+c+i(b+d)=(a+c)i(b+d)=(abi)+(cdi)\overline{(a+bi)+(c+di)}\\ =\overline{a+c+i(b+d)}\\ =(a+c)-i(b+d)\\ =(a-bi)+(c-di)

(iii)zz が解なら z\overline{z} も解。

k=0nakzk=0\displaystyle\sum_{k=0}^na_kz^k=0 のとき,

両辺の共役複素数をとって,

k=0nakzk=0\overline{\displaystyle\sum_{k=0}^na_kz^k}=0

ここで,性質(ii)を繰り返し用いる:

k=0nakzk=0\displaystyle\sum_{k=0}^n\overline{a_kz^k}=0

さらに性質(i)と ak=ak\overline{a_k}=a_k 用いる:

k=0nakzk=0\displaystyle\sum_{k=0}^na_k\overline{z}^k=0

これは z\overline{z} がもとの方程式の解であることを表している。

証明の途中で aka_k の共役複素数が aka_k であることを用いているので実数係数という条件は必須です。

余談:有理数係数の方程式に関しても似たような定理が成立します。→共役無理数に関する二つの定理

ちなみに大学の数学では,複素ベクトル空間の標準内積を定義するときに自然に共役複素数が登場します。

Tag:複素数の美しい性質と効果まとめ

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