共役無理数に関する二つの定理

更新 2021/03/07

共役無理数

$a,b$ を有理数， $k$ を平方因子を持たない（同じ素数で2回以上割り切れない） $2$ 以上の整数とする。このとき，

$a+b\sqrt{k}$ と $a-b\sqrt{k}$ は互いに共役であるという。

共役無理数に関する二つの定理を解説します。

具体例など

例

$a+b\sqrt{k}$ 型の無理数を二次の無理数と言います。
$b\neq 0$ のとき， $a+b\sqrt{k}$ が無理数であることは，背理法で簡単に証明できます（ $\sqrt{2}$ が無理数であることの証明と同様）。
「無理数の共役」は「複素数の共役」と非常に似ています。

$r=a+b\sqrt{k}$ の共役な無理数を $\overline{r}=a-b\sqrt{k}$ と書きます。簡単な計算により以下が分かります。

（ただし $r_1$ と $r_2$ の $k$ は共通とする）

定理1

有理数係数多項式＝0という方程式に対して $a+b\sqrt{k}$ が解なら，その共役な無理数 $a-b\sqrt{k}$ も解である。

「実数係数多項式＝0という方程式に対して複素数 $z$ が解なら $\overline{z}$ も解である」という定理にかなり似ています。→共役複素数の覚えておくべき性質

証明も複素数の場合と全く同様にできます。上記の性質1と性質2を使います。

有理数係数というのは重要です。実際，係数として無理数を許すと上記の定理は成立しません。

例

$\sqrt{2}x=2$ という方程式について， $\sqrt{2}$ は解だが $-\sqrt{2}$ は解でない。

定理2

$(a+b\sqrt{k})^n=a_n+b_n\sqrt{k}$ （ただし， $a_n,b_n$ は有理数）で数列 $a_n,b_n$ を定める。このとき， $(a-b\sqrt{k})^n=a_n-b_n\sqrt{k}$

難関大の入試でやや頻出です。例えば，ペル方程式の一般解を明示的に書くときに活躍します（→三角数とは，三角数定理，平方数との関係の一番下）。

定理2の二通りの証明を紹介します。

証明1

$(a+b\sqrt{k})^n=a_n+b_n\sqrt{k}$

の両辺の共役を取ると，性質1より

$\overline{(a+b\sqrt{k})^n}=a_n-b_n\sqrt{k}$

ここで，性質2を用いて左辺を計算すると，

$\overline{(a+b\sqrt{k})^n}=\left(\overline{a+b\sqrt{k}}\right)^n=(a-b\sqrt{k})^n$ となる

美しいですね！

二項定理を用いた証明もあります。

証明2

二項定理より， $(a+b\sqrt{k})^n=\displaystyle\sum_{t=0}^n{}_n\mathrm{C}_ta^{n-t}(b\sqrt{k})^{t}$

$t$ が偶数のときの項の和が $a_n$ で奇数のときの項の和が $b_n\sqrt{k}$ である。

一方，

$(a-b\sqrt{k})^n=\displaystyle\sum_{t=0}^n{}_n\mathrm{C}_ta^{n-t}(-b\sqrt{k})^{t}$

$(-1)$ の指数が $t$ であることに注意すると， $t$ が偶数のときの項の和は $a_n$ と一致し，奇数のときの項の和は $-b_n\sqrt{k}$ と一致することが分かる。

共役無理数と共役複素数は合わせて理解するとよいです。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！