極限，微分

マクローリン展開を用いると，一般の関数 $f(x)$ を多項式で近似することができる。その多項式は，$f$ の $x=0$ における高階微分係数から定まる。

複数の関数の積の微分を効率よく行う公式

$f, g, h$ を $x$ の関数とする。関数の積は以下のように微分できる：

(i) $(fg)'=f'g+fg'$

(ii) $(fg)^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}g+2f'g'+fg^{\prime\prime}$

(iii) $(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'$

三角関数の $\dfrac{0}{0}$ 不定形の極限を求める問題はマクローリン展開を用いた多項式近似で確実に，しかも迅速に解くことができる。

メルカトル級数：

$1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=\log 2$

$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots=\infty$

sinc関数：

$y=\dfrac{\sin x}{x}$ はsinc関数と呼ばれる有名な関数である。

漸化式で表される数列の極限を求めるタイプの入試問題は頻出です。問題の背景にはバナッハの不動点定理と呼ばれる素敵な定理があります。

ニュートン法は，コンピュータを用いて方程式の解を高速に計算する手法

ジョルダンの不等式：

$0\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}$ において，

$\dfrac{2}{\pi}x\leq \sin x\leq x$

ロピタルの定理（大雑把バージョン）：

$\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ が $\dfrac{0}{0}$ または $\dfrac{\infty}{\infty}$ の不定形で「ある条件」を満たせば，

$\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

媒介変数 $\theta$ を用いて $x(\theta)=a(\theta-\sin\theta), y(\theta)=a(1-\cos\theta)$ と表される曲線をサイクロイドと呼ぶ

スターリングの公式：

$n!\simeq\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$

公式1：$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$

公式2：$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\log(1+x)}=1$

グレゴリー・ライプニッツ級数：

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}\cdots=\dfrac{\pi}{4}$

はさみうちの原理（数列版）：

任意の自然数 $n$ に対して（または十分大きな $n$ に対して）

$a_n \leq b_n \leq c_n$ が成立し，

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$ なら

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha$

$f(x)$ が $0\leq x\leq 1$ で連続微分可能なとき $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^kf(\dfrac{k}{2n})=\dfrac{1}{2}(f(1)-f(0))$

一変数関数の最小値は多くの場合微分を用いて求めることができる。

偏微分とは，多変数関数を「特定の文字以外定数だとみなして」微分したもののことです。

バーゼル問題：平方数の逆数和は $\dfrac{\pi^2}{6}$ に収束する。つまり，

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2}=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots=\dfrac{\pi^2}{6}$

$x\to\infty$ の極限において，無限に大きくなるスピードは，

$x$ の対数関数 $\ll$$x$ の多項式 $\ll$$x$ の指数関数

右極限：右から近づいたときの極限

左極限：左から近づいたときの極限

右連続：右から近づいたときにつながっている

左連続：左から近づいたときにつながっている

両辺の対数を取ってから微分する方法を対数微分法と呼ぶ。

合成関数の微分は（かたまりで微分）×（かたまりの微分）

曲線を局所的に円弧とみなしたときの円の半径をその点における曲率半径と言う。曲率半径の逆数を曲率といい，$\kappa$ で表す。

$y=\tan x$ の逆関数 $y=\mathrm{Arctan}\:x$ のマクローリン展開（$x=0$ でのテイラー展開）は，

$\mathrm{Arctan}\:x=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1}=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+\cdots$

である（収束半径は $1$ ）。

（ラグランジュの）平均値の定理

区間 $[a,b]$ で連続，$(a,b)$ で微分可能な関数 $f(x)$ に対して，

$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$

を満たす $c$ が $a$ と $b$ の間に存在する。

積の微分公式：

$f(x),g(x)$ が（考えている区間で）微分可能なとき

$\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

ー連続，微分可能の直感的な意味ー

連続：関数のグラフがつながっている

微分可能：関数のグラフが滑らか

$f',g'$ を $x$ の関数とする。

1．逆数の微分公式：$\dfrac{1}{f}$ の微分は $-\dfrac{f'}{f^2}$

2．商の微分公式：$\dfrac{g}{f}$ の微分は $\dfrac{g'f-f'g}{f^2}$

指数関数の微分：

任意の $a > 0$ に対して $y=a^x$ の導関数は，$y'=a^x\log a$ である。

サインの微分：

$y=\sin x$ の導関数は，$y'=\cos x$

コサインの微分：

$y=\cos x$ の導関数は，$y'=-\sin x$

$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots$

$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots$

対数関数のテイラー展開：

$-1 < x \leq 1$ のとき，

$\log (1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots$

極大とは「自分の近くの範囲では一番大きい」ことを表します。極小とは「自分の近くの範囲では一番小さい」ことを表します。

タンジェントの微分：

$y=\tan x$ の導関数は，$y'=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

一次近似：

$x\simeq a$ のとき，$f(x)\simeq f(a)+f'(a)(x-a)$

$xy$ 平面上において $x^3+y^3-3axy=0$

と表される曲線をデカルトの葉線と言う。

チェザロ平均についての定理：

数列 $a_n$ に対して，$c_n=\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$ をチェザロ平均という。

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ なら $\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$

$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}$

逆関数の微分は，もとの関数の微分の逆数

$\tan x$ のマクローリン展開（$x=0$ におけるテイラー展開）は

$\tan x=x+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5+\dfrac{17}{315}x^7+\cdots$

増減表とは，図のように，それぞれの区間で $f(x)$ が増加するか減少するかなどを表した表のことです。

サイクロイド曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積は $3 \pi a^2$

$x$軸周りの回転体の体積は $5\pi^2 a^3$

サイクロイド曲線の長さは $8a$

$a \leq x \leq b$ において連続な関数 $y=f(x)$ に対して，
$$\lim_{n \to \infty}\dfrac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n f\left(a+(b-a)\dfrac{k}{n}\right) =\int_a^b f(x)dx$$

特に $a=0,b=1$ のとき， $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)dx$$