極限,微分

    更新日時 2021/03/11

    マクローリン展開

    マクローリン展開を用いると,一般の関数 f(x)f(x) を多項式で近似することができる。その多項式は,ffx=0x=0 における高階微分係数から定まる。

    マクローリン展開の一般形,具体例,諸注意。

    → マクローリン展開

    ライプニッツの公式の証明と二項定理

    複数の関数の積の微分を効率よく行う公式

    f,g,hf, g, hxx の関数とする。関数の積は以下のように微分できる:

    (i) (fg)=fg+fg(fg)'=f'g+fg'

    (ii) (fg)=fg+2fg+fg(fg)^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}g+2f'g'+fg^{\prime\prime}

    (iii) (fgh)=fgh+fgh+fgh(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'

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    三角関数の不定形極限を機械的な計算で求める方法

    三角関数の 00\dfrac{0}{0} 不定形の極限を求める問題はマクローリン展開を用いた多項式近似で確実に,しかも迅速に解くことができる。

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    log2に収束する交代級数の証明

    メルカトル級数:

    112+1314+=k=1(1)k1k=log21-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=\log 2

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    調和級数1+1/2+1/3…が発散することの3通りの証明

    1+12+13+=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots=\infty

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    sinx/xについて覚えておくべき2つのこと

    sinc関数:

    y=sinxxy=\dfrac{\sin x}{x} はsinc関数と呼ばれる有名な関数である。

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    漸化式で表される数列の極限

    漸化式で表される数列の極限を求めるタイプの入試問題は頻出です。問題の背景にはバナッハの不動点定理と呼ばれる素敵な定理があります。

    → 漸化式で表される数列の極限

    分数関数の極値を求める2つのテクニック

    分数関数の極値を求めるテクニックを2つ紹介します。

    1つ目は y=f(x)g(x)y=\dfrac{f(x)}{g(x)} の形の関数ならどんなものでも使える実践的なテクニック,

    2つ目は分母が2次式,分子が1次式の場合にのみ使えるエレガントなテクニックです。

    → 分数関数の極値を求める2つのテクニック

    ニュートン法の解説とそれを背景とする入試問題

    ニュートン法は,コンピュータを用いて方程式の解を高速に計算する手法

    → ニュートン法の解説とそれを背景とする入試問題

    ジョルダンの不等式とその3通りの証明

    ジョルダンの不等式:

    0xπ20\leq x\leq \dfrac{\pi}{2} において,

    2πxsinxx\dfrac{2}{\pi}x\leq \sin x\leq x

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    ロピタルの定理の条件と例題

    ロピタルの定理(大雑把バージョン):

    limxaf(x)g(x)\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}00\dfrac{0}{0} または \dfrac{\infty}{\infty} の不定形で「ある条件」を満たせば,

    limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}

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    サイクロイドについて覚えておくべきこと

    媒介変数 θ\theta を用いて x(θ)=a(θsinθ),y(θ)=a(1cosθ)x(\theta)=a(\theta-\sin\theta), y(\theta)=a(1-\cos\theta) と表される曲線をサイクロイドと呼ぶ

    → サイクロイドについて覚えておくべきこと

    ウォリスの公式とその2通りの証明

    ウォリスの公式

    S=n=1(2n)2(2n1)(2n+1)=π2S=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\dfrac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{\pi}{2}

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    スターリングの公式とその証明

    スターリングの公式:

    n!2πn(ne)nn!\simeq\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n

    → スターリングの公式とその証明

    微分を用いた不等式証明の問題

    問題

    f(x)=(x+12)log(1+1x)1f(x)=(x+\dfrac{1}{2})\log(1+\dfrac{1}{x})-1

    とおくとき,x1x \geq 1 において

    0<f(x)<14x(x+1)0 <f(x) <\dfrac{1}{4x(x+1)} が成立することを示せ。

    受験で出てきそうな問題です。やや難問。

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    指数関数と対数関数の極限の公式

    公式1:limx0ex1x=1\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1

    公式2:limx0xlog(1+x)=1\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\log(1+x)}=1

    どちらも超頻出公式です。指数関数と対数関数に関係する極限の問題(で有限の値に収束するもの)のほとんどがこの公式の変形版です。

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    グレゴリー・ライプニッツ級数の2通りの証明

    グレゴリー・ライプニッツ級数:

    k=1(1)k12k1=113+1517=π4\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}\cdots=\dfrac{\pi}{4}

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    はさみうちの原理の証明

    はさみうちの原理(数列版):

    任意の自然数 nn に対して(または十分大きな nn に対して)

    anbncna_n \leq b_n \leq c_n が成立し,

    limnan=limncn=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha なら

    limnbn=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha

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    区分求積法の難問~京大2003後期~

    f(x)f(x)0x10\leq x\leq 1 で連続微分可能なとき limnk=12n(1)kf(k2n)=12(f(1)f(0))\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^kf(\dfrac{k}{2n})=\dfrac{1}{2}(f(1)-f(0))

    一見複雑ですが美しい公式です。公式の自然な証明とこの公式を応用する例として京大2003後期第5問を解説します。

    → 区分求積法の難問~京大2003後期~

    指数関数の微分を用いる数オリの応用問題

    一変数関数の最小値は多くの場合微分を用いて求めることができる。

    → 指数関数の微分を用いる数オリの応用問題

    偏微分の意味と高校数学への応用

    偏微分とは,多変数関数を「特定の文字以外定数だとみなして」微分したもののことです。

    偏微分について,高校数学の範囲で理解できるように解説します。一見難しそうな偏微分ですが,概念自体は難しくありません。

    → 偏微分の意味と高校数学への応用

    バーゼル問題の初等的な証明

    バーゼル問題:平方数の逆数和は π26\dfrac{\pi^2}{6} に収束する。つまり,

    k=11k2=1+14+19+=π26\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2}=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots=\dfrac{\pi^2}{6}

    平方数の逆数和はいくつに収束するのか?という問題がバーゼル問題です。高校数学で理解できるバーゼル問題の証明を解説します。

    → バーゼル問題の初等的な証明

    媒介変数表示された有名な曲線7つ

    微分を使って媒介変数表示で表された曲線のグラフの概形を書き,積分を使って面積を求めさせるというのは頻出の問題です。入試でよく登場する曲線を整理しました。

    → 媒介変数表示された有名な曲線7つ

    指数関数の極限と爆発性

    xx\to\infty の極限において,無限に大きくなるスピードは,

    xx の対数関数 \llxx の多項式 \llxx の指数関数

    \dfrac{\infty}{\infty} の不定形極限の重要な話題です。

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    関数の右極限,左極限と連続性

    右極限:右から近づいたときの極限

    左極限:左から近づいたときの極限

    右連続:右から近づいたときにつながっている

    左連続:左から近づいたときにつながっている

    関数の右極限,左極限,右連続,左連続,連続について解説します。

    → 関数の右極限,左極限と連続性

    対数微分法のやり方と例題

    両辺の対数を取ってから微分する方法を対数微分法と呼ぶ。

    対数微分法のやり方,使いどころ,例題を解説します。

    → 対数微分法のやり方と例題

    合成関数の微分公式と例題7問

    合成関数の微分は(かたまりで微分)×(かたまりの微分)

    合成関数を微分する方法を2通り紹介します。また,合成関数の微分について7つの例題を解説します。

    → 合成関数の微分公式と例題7問

    曲率・曲率半径の感覚的な意味と求め方

    曲線を局所的に円弧とみなしたときの円の半径をその点における曲率半径と言う。曲率半径の逆数を曲率といい,κ\kappa で表す。

    受験レベルとしてはややマニアックですが曲率半径を題材とした入試問題もときどき出題されます。

    → 曲率・曲率半径の感覚的な意味と求め方

    Arctanのマクローリン展開の3通りの方法

    y=tanxy=\tan x の逆関数 y=Arctanxy=\mathrm{Arctan}\:x のマクローリン展開(x=0x=0 でのテイラー展開)は,

    Arctanx=n=1(1)n12n1x2n1=xx33+x55x77+\mathrm{Arctan}\:x=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1}=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+\cdots

    である(収束半径は 11 )。

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    平均値の定理とその応用例題2パターン

    (ラグランジュの)平均値の定理

    区間 [a,b][a,b] で連続,(a,b)(a,b) で微分可能な関数 f(x)f(x) に対して,

    f(b)f(a)ba=f(c)\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)

    を満たす ccaabb の間に存在する。

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    積の微分公式とその証明の味わい

    積の微分公式:

    f(x),g(x)f(x),g(x) が(考えている区間で)微分可能なとき

    {f(x)g(x)}=f(x)g(x)+f(x)g(x)\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

    積の微分法則,ライプニッツルールなどとも呼ばれる超重要な公式です。

    → 積の微分公式とその証明の味わい

    関数の連続性と微分可能性の意味と関係

    ー連続,微分可能の直感的な意味ー

    連続:関数のグラフがつながっている

    微分可能:関数のグラフが滑らか

    • 連続,微分可能の定義
    • 微分可能なら連続であることの証明
    • 連続でも微分可能とは限らない例

    を解説します。

    → 関数の連続性と微分可能性の意味と関係

    商の微分公式の証明と例題

    f,gf',g'xx の関数とする。

    1.逆数の微分公式:1f\dfrac{1}{f} の微分は ff2-\dfrac{f'}{f^2}

    2.商の微分公式:gf\dfrac{g}{f} の微分は gffgf2\dfrac{g'f-f'g}{f^2}

    → 商の微分公式の証明と例題

    微分公式一覧(基礎から発展まで)

    覚えておくべき微分の公式を整理しました。

    → 微分公式一覧(基礎から発展まで)

    指数関数y=a^xの微分公式の4通りの証明

    指数関数の微分:

    任意の a>0a > 0 に対して y=axy=a^x の導関数は,y=axlogay'=a^x\log a である。

    上記公式を4通りの方法で証明します!指数関数の取り扱い,極限操作の練習にどうぞ。

    → 指数関数y=a^xの微分公式の4通りの証明

    sinxの微分公式の3通りの証明

    サインの微分:

    y=sinxy=\sin x の導関数は,y=cosxy'=\cos x

    教科書にも載っている超重要公式です。3通りの方法で証明します。

    → sinxの微分公式の3通りの証明

    cosxの微分公式のいろいろな証明

    コサインの微分:

    y=cosxy=\cos x の導関数は,y=sinxy'=-\sin x

    cos\cos の微分公式をいろいろな方法で証明します。

    → cosxの微分公式のいろいろな証明

    べき関数(y=x^n)の微分公式の3通りの証明

    べき関数の微分公式と,その証明方法について解説します。

    → べき関数(y=x^n)の微分公式の3通りの証明

    sinとcosのn階微分とマクローリン展開

    sinx=xx33!+x55!x77!+\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots

    cosx=1x22!+x44!x66!+\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots

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    log xのn階微分とテイラー展開

    対数関数のテイラー展開:

    1<x1-1 < x \leq 1 のとき,

    log(1+x)=xx22+x33x44+\log (1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots

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    極大値,極小値の意味と注意点

    極大とは「自分の近くの範囲では一番大きい」ことを表します。極小とは「自分の近くの範囲では一番小さい」ことを表します。

    このページでは

    ・極大・極小の定義

    ・極値の求め方

    などについて解説します。

    → 極大値,極小値の意味と注意点

    tanxと1/tan xの微分公式のいろいろな証明

    タンジェントの微分:

    y=tanxy=\tan x の導関数は,y=1cos2xy'=\dfrac{1}{\cos^2 x}

    → tanxと1/tan xの微分公式のいろいろな証明

    一次近似の意味とよく使う近似公式一覧

    一次近似:

    xax\simeq a のとき,f(x)f(a)+f(a)(xa)f(x)\simeq f(a)+f'(a)(x-a)

    一次近似の意味,よく使う近似式,例題を解説します。

    → 一次近似の意味とよく使う近似公式一覧

    デカルトの葉線の漸近線と面積

    xyxy 平面上において x3+y33axy=0x^3+y^3-3axy=0

    と表される曲線をデカルトの葉線と言う。

    デカルトの正葉線,デカルトの葉とも言います。

    → デカルトの葉線の漸近線と面積

    チェザロ平均の性質と関連する東大の問題

    チェザロ平均についての定理:

    数列 ana_n に対して,cn=a1+a2++annc_n=\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n} をチェザロ平均という。

    limnan=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha なら limncn=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha

    この定理に関連する東大入試の問題,およびこの定理の証明を解説します。

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    逆関数の微分公式を例題と図で理解する

    dxdy=1dydx\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}

    逆関数の微分は,もとの関数の微分の逆数

    → 逆関数の微分公式を例題と図で理解する

    tanxの高階微分とマクローリン展開

    tanx\tan x のマクローリン展開(x=0x=0 におけるテイラー展開)は

    tanx=x+13x3+215x5+17315x7+\tan x=x+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5+\dfrac{17}{315}x^7+\cdots

    tanx\tan xnn 階微分を n=5n=5 くらいまで計算してみましょう。いくつか面白い性質が発見できます。

    → tanxの高階微分とマクローリン展開

    増減表の書き方

    増減表とは,図のように,それぞれの区間で f(x)f(x) が増加するか減少するかなどを表した表のことです。

    増減表の例

    → 増減表の書き方

    導関数の意味といろいろな例

    微分係数と導関数の意味を確認した後,いろいろな関数の導関数を計算します。導関数の計算で高校数学の総復習ができます。

    → 導関数の意味といろいろな例

    サイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さ

    サイクロイド曲線とxx軸で囲まれた部分の面積は 3πa23 \pi a^2

    xx軸周りの回転体の体積は 5π2a35\pi^2 a^3

    サイクロイド曲線の長さは 8a8a

    サイクロイドは「円を転がした時の円周上の1点が動く軌跡」であり,媒介変数表示を用いて表される代表的な曲線です。

    この記事では,サイクロイドに関する面積,体積,長さの求め方を解説します。媒介変数の積分の練習としてとても良い題材です。

    → サイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さ

    区分求積法の意味と例題と公式の証明

    axba \leq x \leq b において連続な関数 y=f(x)y=f(x) に対して,
    limnbank=1nf(a+(ba)kn)=abf(x)dx\lim_{n \to \infty}\dfrac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n f\left(a+(b-a)\dfrac{k}{n}\right) =\int_a^b f(x)dx

    特に a=0,b=1a=0,b=1 のとき, limn1nk=1nf(kn)=01f(x)dx\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)dx

    区分求積法は,リミットとシグマが混ざった式を計算するための手法の一つです。

    → 区分求積法の意味と例題と公式の証明

    三角関数の微分公式と問題例

    三角関数の微分公式

    (sinx)=cosx(cosx)=sinx(tanx)=1cos2x(Arcsin x)=11x2(Arccos x)=11x2(Arctan x)=11+x2 \begin{aligned} (\sin x)' &= \cos x\\ (\cos x)' &= -\sin x\\ (\tan x)' &= \dfrac{1}{\cos^2 x}\\ (\mathrm{Arcsin}~ x)' &= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\mathrm{Arccos}~ x)' &= -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\mathrm{Arctan}~ x)' &= \dfrac{1}{1+x^2}\\ \end{aligned}

    この記事では,三角関数サイン・コサイン・タンジェントに関する公式の簡単な証明,その公式を使った問題例について解説します。

    → 三角関数の微分公式と問題例