極限,微分
マクローリン展開
マクローリン展開を用いると,一般の関数 を多項式で近似することができる。その多項式は, の における高階微分係数から定まる。
マクローリン展開の一般形,具体例,諸注意。
三角関数の不定形極限を機械的な計算で求める方法
三角関数の 不定形の極限を求める問題はマクローリン展開を用いた多項式近似で確実に,しかも迅速に解くことができる。
分数関数の極値を求める2つのテクニック
分数関数の極値を求めるテクニックを2つ紹介します。
1つ目は の形の関数ならどんなものでも使える実践的なテクニック,
2つ目は分母が2次式,分子が1次式の場合にのみ使えるエレガントなテクニックです。
指数関数と対数関数の極限の公式
公式1:
公式2:
どちらも超頻出公式です。指数関数と対数関数に関係する極限の問題(で有限の値に収束するもの)のほとんどがこの公式の変形版です。
区分求積法の難問~京大2003後期~
が で連続微分可能なとき
一見複雑ですが美しい公式です。公式の自然な証明とこの公式を応用する例として京大2003後期第5問を解説します。
偏微分の意味と計算例・応用
偏微分とは,多変数関数を「特定の文字以外定数だとみなして」微分したもののことです。
偏微分について,高校数学の範囲で理解できるように解説します。一見難しそうな偏微分ですが,概念自体は難しくありません。
バーゼル問題の初等的な証明
平方数の逆数和は に収束する。つまり,
平方数の逆数和はいくつに収束するのか?という問題がバーゼル問題です。高校数学で理解できるバーゼル問題の証明を解説します。
媒介変数表示された有名な曲線7つ
微分を使って媒介変数表示で表された曲線のグラフの概形を書き,積分を使って面積を求めさせるというのは頻出の問題です。入試でよく登場する曲線を整理しました。
関数の右極限,左極限と連続性
右極限:右から近づいたときの極限
左極限:左から近づいたときの極限
右連続:右から近づいたときにつながっている
左連続:左から近づいたときにつながっている
関数の右極限,左極限,右連続,左連続,連続について解説します。
合成関数の微分公式と例題7問
合成関数の微分は(かたまりで微分)×(かたまりの微分)
合成関数を微分する方法を2通り紹介します。また,合成関数の微分について7つの例題を解説します。
曲率・曲率半径の感覚的な意味と求め方
曲線を局所的に円弧とみなしたときの円の半径をその点における曲率半径と言う。曲率半径の逆数を曲率といい, で表す。
受験レベルとしてはややマニアックですが曲率半径を題材とした入試問題もときどき出題されます。
関数の連続性と微分可能性の意味と関係
連続:関数のグラフがつながっている
微分可能:関数のグラフが滑らか
- 連続,微分可能の定義
- 微分可能なら連続であることの証明
- 連続でも微分可能とは限らない例
を解説します。
指数関数y=a^xの微分公式の4通りの証明
任意の に対して の導関数は, である。
上記公式を4通りの方法で証明します!指数関数の取り扱い,極限操作の練習にどうぞ。
極大値,極小値の意味と注意点
極大とは「自分の近くの範囲では一番大きい」ことを表します。極小とは「自分の近くの範囲では一番小さい」ことを表します。
このページでは
・極大・極小の定義
・極値の求め方
などについて解説します。
チェザロ平均の性質と関連する東大の問題
数列 に対して, をチェザロ平均という。
なら
この定理に関連する東大入試の問題,およびこの定理の証明を解説します。
tanxの高階微分とマクローリン展開
のマクローリン展開( におけるテイラー展開)は である。
の 階微分を くらいまで計算してみましょう。いくつか面白い性質が発見できます。
サイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さ
サイクロイド曲線と軸で囲まれた部分の面積は
軸周りの回転体の体積は
サイクロイド曲線の長さは
サイクロイドは「円を転がした時の円周上の1点が動く軌跡」であり,媒介変数表示を用いて表される代表的な曲線です。
この記事では,サイクロイドに関する面積,体積,長さの求め方を解説します。媒介変数の積分の練習としてとても良い題材です。
三角関数の微分公式と問題例
この記事では,三角関数サイン・コサイン・タンジェントに関する公式の簡単な証明,その公式を使った問題例について解説します。
伸開線・縮閉線の意味と計算例
曲線に対して,その曲線に巻きつけられた糸をたるませないようにほどいていくときに糸の端点が描く軌跡のことを伸開線(Involute)と言う。
伸開線と縮閉線の意味と計算例を紹介します。曲線に関するいろいろな計算(媒介変数表示・接線・法線・曲率)の練習になる楽しい話題です。
分数関数の微分公式(商の微分)とその証明・計算例
この記事では,数3で習う分数関数の微分公式(商の微分公式)について整理しました。2通りの証明方法と例題を解説します。