極限

$y=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ が $x=\alpha$ で極値を取るとき，$g'(\alpha)\neq 0$ ならその値は $\dfrac{f'(\alpha)}{g'(\alpha)}$ である。

$\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ が $\dfrac{0}{0}$ または $\dfrac{\infty}{\infty}$ の不定形で「ある条件」を満たせば，

$\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

区分求積法とは，「長方形の面積の和」で横幅を限りなく小さくしたものと $y=f(x)$ の下側部分の面積が等しいという式：

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right)$$=$$\displaystyle\int_0^1 f(x)dx$

$1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=\log 2$

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}=\infty$

つまり，$\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots$ という無限和は発散する。

$y=\dfrac{\sin x}{x}$ は sinc 関数と呼ぶ。

$1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}\cdots=\dfrac{\pi}{4}$

任意の自然数 $n$ に対して（または十分大きな $n$ に対して） $a_n \leqq b_n \leqq c_n$ が成立し，

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ かつ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$ なら

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha$

数列 $a_n$ に対して，$c_n=\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$ をチェザロ平均という。そして，

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ なら $\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$

多くの状況で自然数の最初の桁（最高位）に現れる数は一様に分布しない。

具体的に $n \ (= 1,2, \dots , 9)$ の出てくる確率 $P_n$ は $$P_n = \log_{10} \dfrac{n+1}{n}$$ に近いことが多い。

$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\dfrac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{\pi}{2}$

つまり，

$\dfrac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\times\dfrac{4\cdot 4}{3\cdot 5}\times\dfrac{6\cdot 6}{5\cdot 7}\times\cdots=\dfrac{\pi}{2}$

$n!\fallingdotseq\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$

平方数の逆数和は $\dfrac{\pi^2}{6}$ に収束する。つまり， $$\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2}=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots=\dfrac{\pi^2}{6}$$ となる。

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\\ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}\\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1$$