三角関数 (sin,cos,tan) の極限まとめ

更新 2022/07/04

三角関数の基本極限公式

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\\ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}\\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1$

この記事では主要な三角関数の極限公式を紹介します。

三角関数の微分係数の計算などに応用されるので，考え方も含めてしっかり勉強していきましょう。

sin の極限公式

まずは， $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ です。三角関数の極限の中で最も大切な公式です。証明してみましょう。 $x > 0$ の場合を図形的に考え，その後負の場合に拡張します。

証明

$x > 0$ のとき

$x \to 0$ を考えるため， $x$ は十分小さいものとして良い。特に $x < \dfrac{\pi}{2}$ としてよい。

sinx/xの極限

上図より面積について $\text{三角形} \mathrm{OAB} < \text{扇形} \mathrm{OAB} < \text{三角形} \mathrm{OBC}$ である。それぞれ $x$ を用いて表すことで， $\dfrac{1}{2} \sin x < \dfrac{1}{2} x < \dfrac{1}{2} \tan x$ を得る。 $\sin x > 0$ より両辺 $\sin x$ で割って，逆数をとると

$\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1$

を得る。ここで， $x \to +0$ とすると， $\cos x\to 1$ なのではさみうちの原理から $\displaystyle\lim_{x\to +0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ を得る。

$x < 0$ のとき

$\dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{\sin (-x)}{-x}$ より，

$\begin{aligned} \lim_{x\to -0} \dfrac{\sin x}{x} &= \lim_{x \to +0} \dfrac{\sin (-x)}{-x}\\ &= \lim_{x \to +0} \dfrac{\sin x}{x}\\ &= 1 \end{aligned}$

以上から， $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ である。

関連：sinx/xについて覚えておくべき2つのこともどうぞ。

cos の極限公式

次は $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}$ について考えます。上で示した sin の極限公式を活用すれば証明できます。

そのためには cos を sin に変換する必要があります。分子が $x^2$ とあることから， $\sin^2 x$ をうまく用意すればよさそうです。これらの考察から $1-\cos^2 x$ を作ればよいと気付きましょう。

証明

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2} \cdot \dfrac{1+\cos x}{1+\cos x}\\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^2 x}{x^2 (1+\cos x)}\\ &= \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{1+\cos x}\\ &= \dfrac{1}{2} \end{aligned}$

tan の極限公式

次は， $\tan$ に関する $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1$ という公式です。これもsinの極限公式から簡単に導出できます。

証明

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos x} = 1$

いくつかの例題

ここまでで紹介した極限公式を用いて例題を解いてみましょう。

例題

次の値を求めよ。

$\begin{aligned} &1.\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}\\ &2.\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (\sin x)}{x}\\ &3.\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos (\sin x)}{\tan^2 (\sin x)} \end{aligned}$

コツは $\dfrac{\sin \triangle}{\triangle}$ や $\dfrac{1-\cos \triangle}{\triangle^2}$ の形を作ることです。

そのために有理化などで幾度となくみた $\dfrac{\triangle}{\triangle}$ を掛けることで式を変形します。

1の解答

$\dfrac{\sin 2x}{2x}$ のようにサインの中と外が同じ形になるように変形しましょう。

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{\sin 3x} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{\sin 3x} \cdot \dfrac{3x}{2x} \cdot \dfrac{2}{3}\\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{\sin 2x}{2x} \cdot \dfrac{3x}{\sin 3x}\\ &= \dfrac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1\\ &= \dfrac{2}{3} \end{aligned}$

2の解答

$\sin x \to 0 \; (x \to 0)$ であるため， $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (\sin x)}{\sin x}=1$ となります。このことを活用しましょう。

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (\sin x)}{x} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (\sin x)}{x} \cdot \dfrac{\sin x}{\sin x}\\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (\sin x)}{\sin x} \cdot \dfrac{\sin x}{x}\\ &= 1\cdot 1\\ &=1 \end{aligned}$

3の解答

2番と同じように解いてみましょう。

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos (\sin x)}{\tan^2 (\sin x)} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos (\sin x)}{\tan^2 (\sin x)} \cdot \dfrac{\sin^2 x}{\sin^2 x}\\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos (\sin x)}{\sin^2 x} \left( \dfrac{\sin x}{\tan (\sin x)} \right)^2\\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 1^2\\ &= \dfrac{1}{2} \end{aligned}$

→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT96では，このような問題の3通りの解法と計算ミスを減らすコツを紹介しています。

より発展的な話題

マクローリン展開を用いることで三角関数の極限を簡単に計算できます。

詳しくは三角関数の不定形極限を機械的な計算で求める方法をチェックしてください。

三角関数の極限の問題を解くのはパズルみたいで楽しいです。