三角関数 (sin,cos,tan) の極限まとめ

$x > 0$ のとき

$x \to 0$ を考えるため，$x$ は十分小さいものとして良い。特に $x < \dfrac{\pi}{2}$ としてよい。

上図より面積について $$\text{三角形} \mathrm{OAB} < \text{扇形} \mathrm{OAB} < \text{三角形} \mathrm{OBC}$$ である。それぞれ $x$ を用いて表すことで， $$\dfrac{1}{2} \sin x < \dfrac{1}{2} x < \dfrac{1}{2} \tan x$$ を得る。 $\sin x > 0$ より両辺 $\sin x$ で割って，逆数をとると

$$\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1$$

を得る。ここで，$x \to +0$ とすると，$\cos x\to 1$ なのではさみうちの原理から $\displaystyle\lim_{x\to +0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ を得る。

$x < 0$ のとき

$\dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{\sin (-x)}{-x}$ より，

$$\begin{aligned} \lim_{x\to -0} \dfrac{\sin x}{x} &= \lim_{x \to +0} \dfrac{\sin (-x)}{-x}\\ &= \lim_{x \to +0} \dfrac{\sin x}{x}\\ &= 1 \end{aligned}$$

以上から， $$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$$ である。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2} \cdot \dfrac{1+\cos x}{1+\cos x}\\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^2 x}{x^2 (1+\cos x)}\\ &= \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{1+\cos x}\\ &= \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos x} = 1$$

$\dfrac{\sin 2x}{2x}$ のようにサインの中と外が同じ形になるように変形しましょう。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{\sin 3x} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{\sin 3x} \cdot \dfrac{3x}{2x} \cdot \dfrac{2}{3}\\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{\sin 2x}{2x} \cdot \dfrac{3x}{\sin 3x}\\ &= \dfrac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1\\ &= \dfrac{2}{3} \end{aligned}$$

$\sin x \to 0 \; (x \to 0)$ であるため，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (\sin x)}{\sin x}=1$ となります。このことを活用しましょう。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (\sin x)}{x} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (\sin x)}{x} \cdot \dfrac{\sin x}{\sin x}\\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (\sin x)}{\sin x} \cdot \dfrac{\sin x}{x}\\ &= 1\cdot 1\\ &=1 \end{aligned}$$

2番と同じように解いてみましょう。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos (\sin x)}{\tan^2 (\sin x)} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos (\sin x)}{\tan^2 (\sin x)} \cdot \dfrac{\sin^2 x}{\sin^2 x}\\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos (\sin x)}{\sin^2 x} \left( \dfrac{\sin x}{\tan (\sin x)} \right)^2\\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 1^2\\ &= \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$