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マクローリン展開

更新日時 2021/03/07
有名な関数のマクローリン展開

sinx=xx33!+x55!\sin x =x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots

cosx=1x22!+x44!\cos x =1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots

ex=1+x+x22!+x33!+e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots

log(1+x)=xx22+x33\log(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots
※ただし,log(1+x)\log (1+x) に関しては 1<x1-1 < x\leq 1 でのみ成立する式です。

いろいろな関数を多項式で近似できる「マクローリン展開」について紹介します。

目次
  • マクローリン展開の一般形

  • 具体例

  • 諸注意

マクローリン展開の一般形

無限回微分可能な多くの関数 f(x)f(x) について,以下の等式が成立する:

f(x)=k=0f(k)(0)xkk!f(x)={\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}}f^{(k)}(0)\dfrac{x^k}{k!}

  • f(k)f^{(k)}ffkk 階微分です。
  • 上式の右辺を書き下してみると,
    f(0)+f(0)x+f(0)2!x2+f(3)(0)3!x3f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3\cdots
    となります。
  • この無限級数を途中で打ち切ったものは多項式になります。つまり,マクローリン展開を用いると,一般の関数 f(x)f(x) を多項式で近似することができる。その多項式は,ffx=0x=0 における高階微分係数から定まると言えます。
  • 局所的な x=0x=0 での情報(f(0),f(0),f(0),,f(0), f'(0), f^{\prime\prime}(0),\cdots, )が分かれば, より広い範囲での関数の振る舞いも分かることに感動していただきたいです!
  • ただし,この記事では「多くの関数について成立する」とごまかしています。どのような場合に成立するか?なぜ成立するか?についてはテイラーの定理の例と証明を参照してください。

具体例

冒頭の式の繰り返しになりますが,具体的に三角関数,指数関数,対数関数にマクローリン展開を適用すると以下のようになります。

sinx=k=0(1)kx2k+1(2k+1)!=xx36+\sin x\\={\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}}(-1)^k\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\\=x-\dfrac{x^3}{6}+\cdots

cosx=k=0(1)kx2k(2k)!=1x22+\cos x\\={\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}}(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}\\=1-\dfrac{x^2}{2}+\cdots
→sinとcosのマクローリン展開

ex=k=0xkk!=1+x+x22+x36+e^x\\={\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}}\dfrac{x^{k}}{k!}\\=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\cdots
→e^xのマクローリン展開,三角関数との関係

log(1+x)=k=0(1)kxk+1k+1=xx22+x33\log (1+x)\\={\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}}(-1)^k\dfrac{x^{k+1}}{k+1}\\=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots
→log xのn階微分とテイラー展開

※ただし,log(1+x)\log (1+x) に関しては 1<x1-1 < x\leq 1 でのみ成立する式です。

上記の4つの式の最右辺は,マクローリン展開を3次の項までで打ち切ったものです。つまり,三角関数などの「難しい」関数を原点付近で3次関数に近似したものとみなせます。一般形も大事ですが,実用上は3次の項まで覚えておけば多くの場合は事足ります。少なくとも4つの式の最右辺は完璧に覚えておくことをオススメします。

諸注意

  • マクローリン展開の等式 f(x)=k=0f(k)(0)xkk!f(x)={\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}}f^{(k)}(0)\dfrac{x^k}{k!} が成立するためには,右辺の級数が収束することが必要です。
  • また,f(x)f(x) が無限回微分可能で右辺の級数が収束したとしても,左辺と一致するとは限りません(残念!)
  • ですが,今回紹介した4つの関数(sinx,cosx,ex,log(1+x)(1<x1)\sin x, \cos x, e^x, \log(1+x)\:(-1< x\leq 1))については,等式が成立します(剰余項 0\to 0 となります)。
  • より詳しくは,テイラーの定理の例と証明を参照してください。
  • また,マクローリン展開を途中で打ち切ったものは,あくまでも近似です。近似なので等式変形に用いることはできません。しかし,不等式の証明や極限値を求める場合など多くの場面で活躍します。高校数学におけるマクローリン展開の応用例は,マクローリン展開の応用例まとめを参照してください。

マクローリン展開を知っていると見通しがよくなる問題がたくさんあります。

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