マクローリン展開

更新 2022/10/18

有名な関数のマクローリン展開

$\sin x =x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots$

$\cos x =1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots$

$\log(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots$

※ただし， $\log (1+x)$ に関しては $-1 < x\leqq 1$ でのみ成立する式です。

いろいろな関数を多項式で近似できる「マクローリン展開」について紹介します。

マクローリン展開の一般形

無限回微分可能な多くの関数 $f(x)$ について，以下の等式が成立する：

$f(x)={\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}}f^{(k)}(0)\dfrac{x^k}{k!}$

$f^{(k)}(0)$ は $f$ の $k$ 階微分に $x=0$ を代入した値です。
上式の右辺を書き下してみると，
$f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\cdots$ となります。
この無限級数を途中で打ち切ったものは多項式になります。つまり，マクローリン展開を用いると，一般の関数 $f(x)$ を多項式で近似できます。そして，その多項式は， $f$ の $x=0$ における高階微分係数から定まります。
局所的な $x=0$ での情報（ $f(0), f'(0), f^{\prime\prime}(0),\cdots,$ ）が分かれば, より広い範囲での関数の振る舞いも分かることに感動していただきたいです！
ただし，この記事では「多くの関数について成立する」とごまかしています。どのような場合に成立するか？なぜ成立するか？についてはテイラーの定理とテイラー展開～例と証明を参照してください。

具体例

冒頭の式の繰り返しになりますが，具体的に三角関数，指数関数，対数関数にマクローリン展開を適用すると以下のようになります。

$\begin{aligned} \sin x &= \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ &=x-\dfrac{x^3}{6}+\cdots\\ \cos x &= \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dfrac{x^{2k}}{(2k)!}\\ &=1-\dfrac{x^2}{2}+\cdots \end{aligned}$

→sinとcosのマクローリン展開

$\begin{aligned} e^x &= \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{x^{k}}{k!}\\ &=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\cdots \end{aligned}$

→e^xのマクローリン展開，三角関数との関係，

$\begin{aligned} \log (1+x) &= \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dfrac{x^{k+1}}{k+1}\\ &=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots \end{aligned}$

→log xのn階微分とテイラー展開

※ただし， $\log (1+x)$ に関しては $-1 < x\leqq 1$ でのみ成立する式です。

上記の4つの式の最右辺では，マクローリン展開を3次の項まで書いています。そこで打ち切れば，三角関数などの「難しい」関数を原点付近で3次関数に近似したものとみなせます。一般形も大事ですが，実用上は3次の項まで覚えておけば多くの場合は事足ります。少なくとも4つの式の最右辺は完璧に覚えておくことをオススメします。

応用と注意事項

近似としての応用マクローリン展開を途中で打ち切ったものは，あくまでも 近似 です。近似なので等式変形に用いることはできません。
しかし，不等式の証明や極限値を求める場合など多くの場面で活躍します。
高校数学におけるマクローリン展開の応用例は，マクローリン展開の応用例まとめを参照してください。
どんな関数ならマクローリン展開できるのかマクローリン展開の等式
f(x)=∑k=0∞f(k)(0)xkk!f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} f^{(k)} (0) \dfrac{x^k}{k!}f(x)=k=0∑∞​f(k)(0)k!xk​
が成立するためには，右辺の級数が収束することが必要です。
f(x)f(x)f(x) が無限回微分可能で右辺の級数が収束したとしても，左辺と一致するとは限りません。
今回紹介した4つの関数（sin⁡x,cos⁡x,ex,log⁡(1+x)\sin x, \cos x, e^x, \log(1+x)sinx,cosx,ex,log(1+x)）については，等式が成立します（剰余項 →0\to 0→0 となります）。
比較的有名な「反例（マクローリン展開できない例）」を紹介します。
例
f(x)f (x)f(x) を
f(x)={e−1x2(x≠0)0(x=0)
f(x) =
\begin{cases}
e^{-\frac{1}{x^2}} &(x \neq 0)\\
0 &(x = 0)
\end{cases}
f(x)={e−x21​0​(x=0)(x=0)​
とおきます。
これは無限回微分可能です。実際 x≠0x \neq 0x=0 では微分が可能です。
x=0x = 0x=0 では
f′(0)=lim⁡h→0f(h)−f(0)h=lim⁡h→0e−1h2h=lim⁡t→∞tet(1/h2=t)=0\begin{aligned}
f'(0) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h)-f(0)}{h}\\
&= \lim_{h \to 0} \dfrac{e^{-\frac{1}{h^2}}}{h}\\
&= \lim_{t \to \infty} \dfrac{\sqrt{t}}{e^{t}} &(1/h^2 = t)\\
&= 0
\end{aligned}f′(0)​=h→0lim​hf(h)−f(0)​=h→0lim​he−h21​​=t→∞lim​ett​​=0​(1/h2=t)​
となり，
f′(x)={2x3e−1x2(x≠0)0(x=0)
f'(x) =
\begin{cases}
\dfrac{2}{x^3} e^{-\frac{1}{x^2}} &(x \neq 0)\\
0 &(x = 0)
\end{cases}
f′(x)=⎩⎨⎧​x32​e−x21​0​(x=0)(x=0)​
と計算されます。
同様に計算を繰り返すと f(n)(0)=0f^{(n)} (0) = 0f(n)(0)=0 となります。
こうしてマクローリン級数は
∑k=0∞f(k)(0)xkk!=0+0+⋯=0
\sum_{k=0}^{\infty} f^{(k)} (0) \dfrac{x^k}{k!} = 0+0+ \cdots = 0
k=0∑∞​f(k)(0)k!xk​=0+0+⋯=0
となり，
f(x)≠∑k=0∞f(k)(0)xkk!
f(x) \neq \sum_{k=0}^{\infty} f^{(k)} (0) \dfrac{x^k}{k!}
f(x)=k=0∑∞​f(k)(0)k!xk​
です。
その他より詳しくは，テイラーの定理の例と証明を参照してください。
マクローリン展開を知っていると見通しがよくなる問題がたくさんあります。
Tag:数検1級の範囲と必要な公式まとめ
Tag:数学3の教科書に載っている公式の解説一覧

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！