log xのn階微分とテイラー展開

まずは高校数学の教科書レベルです。テイラー展開の準備として対数関数の $n$ 階微分を求めます。$n$ 階微分を求める問題→予想して帰納法という典型的なパターンです。

最短で得点力を上げる！高校数学の問題集〈典型250問〉の問題197では，上記のような例題で計算ミスを減らすためのコツを紹介しています。

対数関数 $\log x$ を多項式で近似したいという状況を考えます。

$\sin x,\:\cos x,\:e^x$ は $x=0$ でテイラー展開（マクローリン展開）することができました（→sinとcosのn階微分とマクローリン展開，→e^xのマクローリン展開）が，$\log x$ は $x=0$ で定義されていないのでマクローリン展開できません。

そこで，$\log x$ を $x=1$ でテイラー展開することを考えます（$x=2$ など別の値でも展開できますが，きれいな式にはなりません）。

これは（平行移動して考えると），$\log (1+x)$ を $x=0$ で展開（マクローリン展開）するともみなせます。

というわけで，$f(x)=\log (1+x)$ をマクローリン展開します。

$f(x)$ の $n$ 階微分は，$\log x$ の $n$ 階微分を $-1$ 平行移動したものです：

$$f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(x+1)^n}$$

よって，$f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1)!$

これをマクローリン展開の式：

$$f(0)+f'(0)x+\dfrac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3$$ に代入すると， $$x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots$$ となります。

（$x^n$ の係数 $a_n$ は $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}=\dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}=\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$ となる）

$\log(1+x)$ は $x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots$ と級数展開できることがわかりました。

この級数が収束してもとの関数値と等しいこと： $$\log(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots$$ を証明するには，剰余項を評価する必要があります。→ テイラーの定理とテイラー展開～例と証明

頑張って評価すると，$-1< x \leq 1$ では上記の等式が正しいことが分かります。$0 < x \leq 1$ の場合の評価のみ紹介します。

ちなみに，$x=1$ のときは別の議論により等式の正しさを証明することもできます。→log2に収束する交代級数の証明

なお， $x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots$ の収束半径 $R$ は $1$ です（つまり $-1 < x < 1$ でこの級数が収束することは保証される）。→収束半径の意味と求め方

これはダランベールの判定法から分かります：

$$\dfrac{1}{R}= \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=1$$