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log xのn階微分とテイラー展開

更新日時 2021/03/07
対数関数のテイラー展開

1<x1-1 < x \leq 1 のとき,

log(1+x)=xx22+x33x44+\log (1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots

  • y=logxy=\log xnn 次導関数
  • logx\log xx=1x=1 でのテイラー展開

について解説します。

目次
  • 対数関数の nn 階微分

  • log (1+x)を考える理由

  • 対数関数のテイラー展開

  • 等式が成立する範囲

  • 収束半径

対数関数の nn 階微分

まずは高校数学の教科書レベルです。テイラー展開の準備として対数関数の nn 階微分を求めます。nn 階微分を求める問題→予想して帰納法という典型的なパターンです。

例題

y=logxy=\log xnn 次導関数 y(n)y^{(n)} を求めよ。

解答

何回も微分してみると,y=1xy'=\dfrac{1}{x}

y(2)=1x2y^{(2)}=-\dfrac{1}{x^2}

y(3)=2x3y^{(3)}=\dfrac{2}{x^3}

y(4)=3!x4y^{(4)}=-\dfrac{3!}{x^4}

より,一般に y(n)=(1)n1(n1)!xny^{(n)}=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{x^n} となることが予想できる。

実際,これは以下のように帰納法で証明できる:

  • n=1n=1 のときOK
  • n=kn=k のときOKと仮定すると,

y(k+1)=ddx{(1)k1(k1)!xk}=(1)kk!xk+1y^{(k+1)}=\dfrac{d}{dx}\left\{(-1)^{k-1}\dfrac{(k-1)!}{x^k}\right\}\\ =(-1)^k\dfrac{k!}{x^{k+1}}

log (1+x)を考える理由

対数関数 logx\log x を多項式で近似したいという状況を考えます。

sinx,cosx,ex\sin x,\:\cos x,\:e^xx=0x=0 でテイラー展開(マクローリン展開)することができました(→sinとcosのn階微分とマクローリン展開→e^xのマクローリン展開)が,logx\log xx=0x=0 で定義されていないのでマクローリン展開できません。

そこで,logx\log xx=1x=1テイラー展開することを考えます(x=2x=2 など別の値でも展開できますが,きれいな式にはなりません)。

これは(平行移動して考えると),log(1+x)\log (1+x)x=0x=0 で展開(マクローリン展開)するともみなせます。

対数関数のテイラー展開

というわけで,f(x)=log(1+x)f(x)=\log (1+x) をマクローリン展開します。

f(x)f(x)nn 階微分は,logx\log xnn 階微分を 1-1 平行移動したものです:

f(n)(x)=(1)n1(n1)!(x+1)nf^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(x+1)^n}

よって,f(n)(0)=(1)n1(n1)!f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1)!

これをマクローリン展開の式:

f(0)+f(0)x+f(2)(0)2!x2+f(3)(0)3!x3f(0)+f'(0)x+\dfrac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3

に代入すると,

xx22+x33x44+x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots

となります。

xnx^n の係数 ana_nf(n)(0)n!=(1)n1(n1)!n!=(1)n1n\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}=\dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}=\dfrac{(-1)^{n-1}}{n} となる)

等式が成立する範囲

log(1+x)\log(1+x)xx22+x33x44+x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots と級数展開できることがわかりました。

この級数が収束してもとの関数値と等しいこと: log(1+x)=xx22+x33x44+\log(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots を証明するには,剰余項を評価する必要があります。→テイラーの定理の例と証明

頑張って評価すると,1<x1-1<x\leq 1 では上記の等式が正しいことが分かります。0<x10<x\leq 1 の場合の評価のみ紹介します。

証明

nn\to\infty で剰余項 Rn=f(n)(c)xnn!(0<c<x)R_n=f^{(n)}(c)\dfrac{x^n}{n!}\:(0<c<x)00 に収束することを示したい。これは,以下よりわかる。

  • Rn=(1)n1xnn(c+1)nR_n=\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n(c+1)^n}
  • 0<c<x10<c<x\leq 1 より,xc+1<1\dfrac{x}{c+1}<1

ちなみに,x=1x=1 のときは別の議論により等式の正しさを証明することもできます。→log2に収束する交代級数の証明

収束半径

なお, xx22+x33x44+x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots の収束半径 RR11 です(つまり 1<x<1-1 < x < 1 でこの級数が収束することは保証される)。→収束半径の意味と求め方

これはダランベールの判定法から分かります:

1R=limnan+1an=limnnn+1=1\dfrac{1}{R}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\\ =\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=1

n!n!(n1)!(n-1)! が打ち消し合うのが非常にきれい!

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