テイラーの定理とテイラー展開～例と証明

テイラーの定理は，関数 $f(x)$ を，$x=a$ の近くで多項式に近似するときに使える定理です。具体例で見てみましょう。

• $x=0$ の近くでは，$\dfrac{e^cx^3}{6}$ は非常に $0$ に近い値になります。つまり，$e^x$ は $x=0$ の近くで $1+x+\dfrac{x^2}{2}$ に近似できると言えます。複雑な関数を多項式で近似できるといろいろ嬉しいです！

• 近似の誤差が最後の項 $\dfrac{e^cx^3}{6}$ です。剰余項と言います。これは $x$ の多項式ではないです（$c$ は $x$ の値に依存する）。

テイラーの定理は平均値の定理の一般化です。実際，テイラーの定理で $n=1$ とすると，以下のようになります：

赤い式を変形すると $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c)$ になります。これは平均値の定理そのものです。→平均値の定理の意味・証明・応用例題２パターン

例えば，$f(x)=e^x$ とすると，

$$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\cdots$$

になることが期待できます。$n\to\infty$ とすれば誤差も $0$ になるという期待が正しいかどうか，もう少し考えてみましょう。

剰余項の評価

テイラーの定理：
$$f(x)= \sum_{k=0}^{n-1}f^{(k)} (a) \dfrac{(x-a)^{k}}{k!}+f^{(n)} (c) \dfrac{(x-a)^n}{n!}$$

について，シグマの部分は $n-1$ 次の多項式です。誤差（剰余項）は $$R_n=f^{(n)}(c)\dfrac{(x-a)^n}{n!}$$ です。剰余項に現れる $\dfrac{(x-a)^n}{n!}$ の分母は $n$ の階乗で，分子は $n$ が指数にあるので（そして，指数関数よりも階乗の方が発散が早いので），$f^{(n)} (c)$ があまり大きくなければ，$n\to\infty$ で $0$ に収束しそうです。

例えば，$n$ 階微分が $n$ のべき乗で抑えられるとき，つまり 「ある定数 $A,B$ が存在して，すべての $n$ と $x_0$ に対して $f^{(n)}(x_0)\leq AB^n$ が成立する」 とき，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}R_n=0$ となります。すなわち， $$f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}f^{(k)}(a)\dfrac{(x-a)^{k}}{k!}$$ となります。これがテイラー展開の原理です。テイラー展開の背後には平均値の定理の一般化であるテイラーの定理があるというわけです。

いつでもテイラー展開の等式が成立するわけではありません。剰余項が $0$ に収束することの確認が必要です。以下の例は，いずれも正しい等式です。剰余項が $0$ になることを確認してみると良い練習になります。

式はけっこう複雑ですが，ロルの定理を認めれば，高校範囲でも十分理解できる証明です。

• 「$[a,x]$ において $n$ 回微分可能」という条件は，もう少し弱められます。具体的には「閉区間 $[a,x]$ において $n-1$ 回連続微分可能 かつ開区間 $(a,x)$ において $n$ 回微分可能」としても成立します。

• $x$ が $a$ より小さい側でも同じ定理が成立します。つまり，$[x,a]$ で $n$ 回微分可能な関数 $f$ について，同じ式を満たす $c\:(x< c < a)$ が存在します。

• この記事では，剰余項が $R_n=f^{(n)}(c)\dfrac{(x-a)^n}{n!}$ というタイプのテイラーの定理を紹介しました。他にもいろいろな剰余項の表し方があり，それぞれ定理の前提条件も微妙に異なります。 →テイラーの定理（Wikipedia）

• $a=0$ のときのテイラー展開をマクローリン展開と言います。マクローリン展開の具体例はマクローリン展開を参照して下さい。