行列の積の定義とその理由

更新日時 2022/04/30

行列の積(2×2)

行列積の定義，計算の具体例，および行列の積の定義の背景についてわかりやすく解説します。

2×2の場合の定義と計算の具体例

2×2の行列どうしの積が特に重要です。

行列積の定義（2×2の場合）

$A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix} b_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22} \end{pmatrix}$ のとき，

$AB=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}& a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}& a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$

例

$A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1& 0 \end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0& -2 \end{pmatrix}$ のとき

$AB=\begin{pmatrix} 2\cdot 1+1\cdot 0 &2(-1)+1\cdot (-2)\\ 1\cdot 1+0\cdot 0& 1\cdot (-1)+0\cdot (-2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 &-4\\ 1& -1 \end{pmatrix}$

$BA$ も計算すると， $BA=\begin{pmatrix} 1 &1\\ -2& 0 \end{pmatrix}$ となり， $AB\neq BA$ です。行列積は交換法則を満たしません。

行ベクトルと列ベクトルの内積

一般の行列の積について解説する前に，行ベクトル $\boldsymbol{a}$ と列ベクトル $\boldsymbol{b}$ の内積について見ておきます。

行ベクトルと列ベクトルの内積

行ベクトル $\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, ... , a_n)$ ，列ベクトル $\boldsymbol{b} = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right)$ の内積は

$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k b_{k}$

と定義される。

行列の積の定義

行列の積は以下のように定義されます。

行列の積

行列 $A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$ に対してその積 $AB$ を

$C=(c_{ij})$ ただし， $c_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$

で定義する。ただし， $A$ の列数と $B$ の行数（ $=n$ とおく）が一致しているときのみ積 $AB$ は定義される。

行列 $C$ の $ij$ 成分 $c_{ij}$ は， $A$ の $i$ 行目 $(a_{i1}, a_{i2}, ... , a_{in})$ と $B$ の $j$ 列目 $\left( \begin{array}{c} b_{1j} \\ b_{2j} \\ \vdots \\ b_{nj} \end{array} \right)$ の内積となっています。
また， $A$ が $l \times m$ 行列， $B$ が $m \times n$ 行列であれば，その積 $C = AB$ は $l \times n$ 行列になります。

行列の積の性質

一般に， $AB \neq BA$
常に， $(AB)C = A(BC)$

1.については，冒頭の計算例からわかります。2.については，成分表示をして計算することにより示すことができますが，煩雑になってしまうのでここでは割愛します。興味のある方は計算してみてください。

行列積の定義の理由

行列の足し算，引き算は成分同士の和，差でOKなのに，行列のかけ算はなぜこのようなめんどうな定義になっているのでしょうか。成分同士の積を定義とした方が計算が楽で，しかも交換法則を満たすのに！

その答えは「以下のとても嬉しい性質を満たすから」と言えます。

行列積 $AB$ を上記のように定義すると，（ $B$ の列数と等しいサイズの）任意の縦ベクトル $\overrightarrow{x}$ に対して

$(AB)\overrightarrow{x}=A(B\overrightarrow{x})$

なぜこの性質が嬉しいのかは後述します。

2×2の場合の証明

$\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix}$ とおく。

右辺を計算していくと，

$A(B\overrightarrow{x})\\ =A\begin{pmatrix}b_{11}x_1+b_{12}x_2\\b_{21}x_1+b_{22}x_2\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}a_{11}(b_{11}x_1+b_{12}x_2)+a_{12}(b_{21}x_1+b_{22}x_2)\\a_{21}(b_{11}x_1+b_{12}x_2)+a_{22}(b_{21}x_1+b_{22}x_2)\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}& a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}& a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix}$

$=(AB)\overrightarrow{x}$

となり左辺と一致した！

線形写像

なぜ上記の性質が嬉しいのか？
それは，「行列＝線形写像（の表現）」という見方をすると，上記の性質は
線形写像の合成が行列の積に対応することを表しているからです。
線形写像と言うと難しそうですが，大雑把には
原点を通る一次関数 y=axy=axy=ax の多変数バージョンです。「原点を通る一次関数の多変数バージョン」と言うといろいろなところに登場しそうですよね！
つまり，上記の性質のおかげで「原点を通る一次関数の多変数バージョン」の合成を簡潔に記述できます（もっと詳しい＆厳密なことは線形代数で習って下さい）。
ちなみに，2×2の行列の場合，線形写像は「xyxyxy 座標系における一次変換」と考えるとイメージしやすいです。一次変換については，一次変換の意味と重要な5つの例（折り返し・回転・対称移動）で解説しています。