複素数

複素数 $a+bi$ に対して，$a-bi$ のことを共役な複素数と言います（ただし $a,b$ は実数）。

例えば，$2+3i$ に対して共役な複素数は $2-3i$ です。

→複素数は，自然界の法則や数学の定理を記述するのに非常に便利だから。

複素数のルートは2つある。それらは複素数平面で原点対称な位置に存在する。

複素数 $z=a+bi$ の絶対値 $|z|$ を $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$ で定める。

複素数 $z$ について，

• $z$ が実数 $\iff z=\overline{z}$

• $z$ が純虚数 $\iff z=-\overline{z}$ かつ $z\neq 0$

複素数を $a+bi$ ではなく $$r(\cos\theta+i\sin\theta)$$ という形で表すことがあります。これを複素数の極形式と言います。

• 1の $n$ 乗根は複素数平面の単位円周上に等間隔で並ぶ。

• 1の $n$ 乗根は全部で $n$ 個あるが，それらの和は0である。

• 1の $n$ 乗根のうちどれでもよいので1つを $\zeta$ とおくと $\overline{\zeta}=\zeta^{n-1}=\dfrac{1}{\zeta}$

複素数平面において，

$$|z-\sqrt{3}|+|z+\sqrt{3}|=4$$

を満たす複素数 $z$ 全体を $C$ とする。

(1) $\alpha$ が $C$ 上を動くとき，$\alpha$ の軌跡によって囲まれる部分の面積を求めよ。

(2) $\alpha$ が $C$ 上を動くとき，$\alpha |\alpha|$ の軌跡によって囲まれる部分の面積を求めよ。

正の整数 $n$ と任意の実数 $\theta$ に対して，

$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$

$a,b,c,d$ を $ad\neq bc$ なる複素数とする。複素数に対して複素数を返す関数で，

$f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$ という形のものを一次分数変換（またはメビウス変換）という。

複素数平面上の点 $\dfrac{1}{2}$ を中心とする半径 $\dfrac{1}{2}$ の円の周から原点を除いた曲線を $C$ とする。

1. 曲線 $C$ 上の複素数 $z$ に対し，$\dfrac{1}{z}$ の実部は $1$ であることを示せ。

2. $\alpha,\beta$ を曲線 $C$ 上の相異なる複素数とするとき，$\dfrac{1}{\alpha^2} + \dfrac{1}{\beta^2}$ とりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

3. $\gamma$ を (2) で求めた範囲に属さない複素数とするとき，$\dfrac{1}{\gamma}$ の実部がとりうる値の最大値と最小値を求め よ。

三角形 $ABC$ と点 $D$ がある。$D$ から直線 $BC,\:CA,\:AB$ に下ろした垂線の足を $P,\:Q,\:R$ とおく。

このとき，$D$ が三角形 $ABC$ の外接円上にあるならば，$P,\:Q,\:R$ は同一直線上にある。この直線をシムソン線と呼ぶ。

次の値を求めよ。

1. ${}_{100} \mathrm{C}_0 + {}_{100} \mathrm{C}_2 + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100}$
2. ${}_{100} \mathrm{C}_0 + {}_{100} \mathrm{C}_3 + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{99}$
3. ${}_{100} \mathrm{C}_0 + {}_{100} \mathrm{C}_4 + \cdots + {}_{100} \mathrm{C}_{100}$