複素数

    更新日時 2021/03/11

    共役複素数の覚えておくべき性質

    複素数 zz について,虚部を (1)(-1) 倍した複素数のことを,共役な複素数と言い,z\overline{z} で表すことが多い。例えば,2+3i2+3i の共役な複素数は 23i2-3i

    この記事では「複素数の共役」に関連する重要な2つの性質について解説します。

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    ド・モアブルの定理の意味と証明

    ド・モアブルの定理:

    (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta

    ド・モアブルの定理(de Moivre’s theorem)とは,上記の美しい複素数の恒等式のことです。このページでは,ド・モアブルの定理について,意味や証明方法,応用を解説します。

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    複素数平面において正三角形となる条件

    複素数 α,β,γ\alpha,\beta,\gamma に対応する複素数平面上の三点 A(α),B(β),C(γ)A(\alpha), B(\beta), C(\gamma) が正三角形となる必要十分条件は,

    (αβ)2+(βγ)2+(γα)2=0(\alpha-\beta)^2+(\beta-\gamma)^2+(\gamma-\alpha)^2=0

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    複素数平面における三角形の面積

    複素数 α,β\alpha,\beta に対応する二点 A(α),B(β)A(\alpha),B(\beta) と原点 OO でつくられる三角形 OABOAB の面積は,

    14αβαβ=12Im(αβ)\dfrac{1}{4}|\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta|=\dfrac{1}{2}|\mathrm{Im}(\alpha\overline{\beta})|

    この公式の使い方と二通りの証明を解説します。

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    複素数平面における直線の方程式

    複素数平面における直線の方程式の一般形は,

    azaz+b=0\overline{a}z-a\overline{z}+b=0

    (ただし,aa は任意の複素数で bb は純虚数)

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    シムソンの定理とその2通りの証明

    シムソンの定理

    シムソンの定理:

    三角形 ABCABC と点 DD がある。 DD から直線 BC,CA,ABBC,\:CA,\:AB に下ろした垂線の足を P,Q,RP,\:Q,\:R とおく。

    このとき,DD が三角形 ABCABC の外接円上にあるならば,P,Q,RP,\:Q,\:R は同一直線上にある。この直線をシムソン線と呼ぶ。

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    複素数平面の基本的な公式集

    複素数平面を図形問題へ応用するためには基本的な計算に慣れておく必要があります。以下の公式は当サイトでは断りになしに使っていくので,基本的な計算に困ったり分からない部分があれば確認してみてください。

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    複素数平面における回転と極形式

    複素数平面(ガウス平面)

    複素数 z=x+iyz=x+iy を直交座標の (x,y)(x,\:y) に対応させ,xx 軸を実軸に,yy 軸を虚軸におきかえたものを複素数平面とよぶ。

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    一次分数変換(メビウス変換)と円円対応

    一次分数変換:

    a,b,c,da,b,c,dadbcad\neq bc なる複素数とする。複素数値に対して複素数を返す関数で,

    f(z)=az+bcz+df(z)=\dfrac{az+b}{cz+d} という形のものを一次分数変換(またはメビウス変換)という。

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    1のn乗根の導出と複素数平面

    定理1: 1の nn 乗根は複素数平面の単位円周上に等間隔で並ぶ。

    定理2:1の nn 乗根は全部で nn 個あるが,それらの和は0である。

    1の累乗根の基本的な話題です。複素数平面の美しい性質。

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    複素数の絶対値の定義といろんな性質

    複素数 z=a+biz=a+bi に対して,その絶対値を z=a2+b2|z|=\sqrt{a^2+b^2} で定める。

    複素数の絶対値についての性質とその証明を整理しました。

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    累乗根の定義と具体例

    aa に対して,nn 乗して aa になるような数aann 乗根という。

    特定の nn を意識しない場合はまとめて累乗根とも言います。

    → 累乗根の定義と具体例

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