複素数分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

$$S = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \mid x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1, x_3 \neq 1\}$$

とする。

$S$ 上の点 $p = (x_1, x_2, x_3)$ に対して複素数 $f(p)$ を

$$f(p) = \frac{x_1 + i x_2}{1 - x_3}$$

で定める（$i$ は虚数単位）。

また, 複素数 $\alpha$ に対し, $C_\alpha$ を複素数平面における中心 $\alpha$, 半径 $1$ の円とする。

(1) $\alpha = a + bi$ （$a,b$ は実数）とおく。 $p = (x_1, x_2, x_3)$ に対して $f(p)$ が $C_\alpha$ 上にあるための $x_1, x_2, x_3$ の条件を $a,b$ を用いて表せ。

(2) 「$f(p)$ が $C_\alpha$ 上の点になるような $p$ 全体がなす図形 $D_ \alpha$ 」, つまり集合 $$D_ \alpha = \{p \in S \mid f(p) \in C_\alpha\}$$

が, $x_1 x_2 x_3$ 空間で半径 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の円になるような $\alpha$ を考える。

このような $\alpha$ 全体は複素数平面において円をなす。この円の中心の実部と虚部、および半径を求めよ。

$\omega_1 = a + bi$，$\omega_2 = c + di$ を複素数とする（ $a, b, c, d$ は実数，$i$ は虚数単位）．

このとき

「全ての実数 $x, y$ に対して

$$m(x^2 + y^2) \leq |x \omega_1 + y \omega_2|^2 \leq M(x^2 + y^2)$$

が成り立つような実数 $m, M$」 を考え，そのような $m$ の最大値を $m_0$，$M$ の最小値を $M_0$ とする．（$m_0$，$M_0$ が必ず存在することは認めてよい．）

(1) $c = 1$，$d = 0$ つまり $\omega_2 = 1$ のとき，$m_0$ と $M_0$ を $a$，$b$ を用いて表せ．

(2) $m_0$ と $M_0$ を $a$，$b$，$c$，$d$ を用いて表せ．

(3) $m_0 > 0$ となるための条件を $a$，$b$，$c$，$d$ を用いて表せ．

複素数平面において，

$$|z-\sqrt{3}|+|z+\sqrt{3}|=4$$

を満たす複素数 $z$ 全体を $C$ とする。

(1) $\alpha$ が $C$ 上を動くとき，$\alpha$ の軌跡によって囲まれる部分の面積を求めよ。

(2) $\alpha$ が $C$ 上を動くとき，$\alpha |\alpha|$ の軌跡によって囲まれる部分の面積を求めよ。

$\mathrm{O}$ を複素数平面の原点とし，$|z-2| = \sqrt{2}$ を満たす複素数平面上の図形を $C$ とする。$C$ 上に点 $\mathrm{P}_n (z_n)$ を以下のように定める。

• $z_1 = 1+i$
• $\angle \mathrm{O} \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} = 90^{\circ}$ を満たす。

(1) $z_2$ を求めよ。

(2) $n \geqq 2$ とする。直線 $\mathrm{OP}_n$ と $C$ の交点のうち $\mathrm{P}_n$ ではない点を $\mathrm{Q}_n$ とおく。線分の長さの積 $\mathrm{OP}_n \cdot \mathrm{OQ}_n$ を求めよ。

(3) $z_{n+1}$ を $z_{n}$ を用いて表せ。なお，解答する際は $z_n$ を $z$ と入力をすること。

(4) $z_{n}$ の実部と虚部をそれぞれ $x_{n}$ と $y_{n}$ とする。このとき $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} y_n$ を求めよ。