入試数学コンテスト第2回第5問解答解説

$\alpha = a + bi$（$a,b$ は実数）とおくと，$p = (x_1, x_2, x_3) \in S$ に対して $f(p)$ が $C_\alpha$ 上にあるための条件は $$\left(\frac{x_1}{1 - x_3} - a\right)^2 + \left(\frac{x_2}{1 - x_3} - b\right)^2 = 1$$ である．$x_3 \neq 1$ よりこれは

$$(x_1 - a(1 - x_3))^2 + (x_2 - b(1 - x_3))^2 = (1 - x_3)^2$$

と同値である．左辺は展開して$x_1^2 + x_2^2 = 1 - x_3^2$を使うことで

$$\begin{aligned} &x_1^2 - 2ax_1(1 - x_3) + a^2(1 - x_3)^2 \\ &+ x_2^2 - 2bx_2(1 - x_3) + b^2(1 - x_3)^2 \\ &= x_1^2 + x_2^2 - 2ax_1(1 - x_3) -2bx_2(1 - x_3) + (a^2 + b^2)(1 - x_3)^2 \\ &=(1 - x_3^2) - 2ax_1(1 - x_3) -2bx_2(1 - x_3) + (a^2 + b^2)(1 - x_3)^2 \\ &= (1- x_3) \left((1 + x_3) - (2ax_1 + 2bx_2) + (a^2 + b^2)(1 - x_3)\right) \end{aligned}$$

と変形できる．$x_3 \neq 1$だから，両辺を $1 - x_3$ で割ることで $$(1 + x_3) - (2ax_1 + 2bx_2) + (a^2 + b^2)(1 - x_3) = 1 - x_3$$

と同値変形できる．これを整理すると $$2ax_1 + 2bx_2 + (a^2 + b^2 - 2)x_3 = a^2 + b^2$$ となる．

$\alpha = a + bi$ とおくと，$D_\alpha$ は方程式

$$2ax_1 + 2bx_2 + (a^2 + b^2 - 2)x_3 = a^2 + b^2$$

で表される空間内の平面 $T_\alpha$ と，$S$ の交わりとなる．

$S$ が単位球面から $N = (0, 0, 1)$ を抜いたものであることと，$T_\alpha$ が $N$ を通らないことに注意する．

すると，平面 $T_\alpha$ と原点の距離を $d \geq 0$ とおいたとき，下図より$D_\alpha$ の半径は

$$\sqrt{1 - d^2}$$

で与えられる．

よって求める条件は

$$\sqrt{1 - d^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

つまり

$$d = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

である．さらに点と平面の距離の公式により

$$d = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{4a^2 + 4b^2 + (a^2 + b^2 - 2)^2}}$$

だから，条件は

$$\frac{a^2 + b^2}{\sqrt{4a^2 + 4b^2 + (a^2 + b^2 - 2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

となる．$\sqrt{a^2 + b^2} = |\alpha|$ を使って整理すると，

$$\begin{aligned} & \frac{|\alpha|^2}{\sqrt{{4|\alpha|^2 + (|\alpha|^2 - 2)^2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ & \Leftrightarrow 2|\alpha|^4 = 4|\alpha|^2 + (|\alpha|^2 - 2)^2 \\ & \Leftrightarrow 2|\alpha|^4 = |\alpha|^4 + 4 \\ & \Leftrightarrow |\alpha|^4 = 4 \\ & \Leftrightarrow |\alpha| = \sqrt{2} \end{aligned}$$

となる．よって求める $\alpha$ たちは複素数平面において中心 $0$ ，半径 $\sqrt{2}$ の円をなす．