数列
シグマ計算を機械的に行うための3つの公式
和の記号シグマに関する計算をすばやく行うための公式を3つ紹介します。2つのシグマ(二重和)計算についても扱います。
フィボナッチ数列の7つの性質(一般項・黄金比・互いに素)
フィボナッチ数列とは,1,1,2,3,5,8,13,21 のように,各項が「前の2つを足した値」になるような数列のこと。
f(n)を含む二項間漸化式の2通りの解法
が多項式のとき二項間漸化式
を解く方法を2通り紹介します。2つ目の方法「一般項を予想する」というのが計算量が少ないのでオススメです!
連分数展開とその計算方法
- 有理数の連分数展開はユークリッドの互除法に対応している
- 有理数 連分数展開が有限回で終わる
主に有理数の連分数展開に関する基本的な知識を解説します。連分数を背景とした入試問題もいくつか出題されています。
等比数列の和の公式(例題・証明・応用)
等比数列とは, のように「一定の比率で変化していく」ような数列のことです。 のような等比数列の和は, 等比数列の和の公式 を使って計算することができます。
数列の発散,収束,振動の意味と具体例
数列の極限は,
1.(有限の値に)収束する
2A.正の無限大に発散する
2B.負の無限大に発散する
3.振動する
のいずれかである。2と3の場合をいずれも発散すると言う。
最初に発散,収束,振動の意味をそれぞれ説明し,後半で具体例をいろいろ紹介します。
無限等比級数の収束,発散の条件と証明など
無限等比級数とは,無限に続く等比数列の和のことです。
例えば,
は無限に続く等比数列の和なので,無限等比級数です。
コッホ曲線の次元,曲線の長さなど
コッホ曲線と呼ばれる有名なフラクタル図形について解説します。コッホ雪片の長さ,面積は大学入試問題(数列の極限の問題)としても妥当なレベルです。
モーザー数列
円周上に 個の頂点を打ち,その全ての2頂点間を線分で結ぶ。このとき,円は 個の領域に分割されるとする。
の最大値は
Moser’s circle problem という問題です。数列 をモーザー数列と言います。
Look-and-say sequence(見て言って数列)
この記事では,以下のような数列について考えます。
1, 11, 21, 1211, 111221, 312211,
面白い性質と規則性を持った数列です。
シグマ記号の意味とその公式の応用例
シグマ記号の公式:
シグマ記号 は「たくさんの足し算」を簡潔に表すための記号。シグマ記号に関連して,以下の公式が成立する:
高校数学で習うシグマ記号について,定義・公式・証明を紹介します。また,シグマ記号を使う問題とその解説をします。