数列

初項 $a$，公比 $r$，項数 $n$ の等比数列の和は（$r\neq 1$ のもとで），

$\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$

$-1<r<1$ のとき，

$$a+ar+ar^2+\cdots=\dfrac{a}{1-r}$$

等差数列とは，同じ数ずつ増えていく（または減っていく）数の列のことです。

等差数列×等比数列 の和は，公比倍してから差を取ることで計算できる。

• $a$ ：元金，元本，初期段階で持っている金額，現在価値（PV）

• $r$ ：利息率，年利率，運用利率，利回り

• $n$ ：考える期間（単位は「年」とすることが多い），運用期間

• $b$ ：最終段階で持っている金額，将来価値（FV）

「次の数との差」を並べた数列のことを階差数列と言います。

例えば，$1,2,5,10,17,26$ という数列に対する階差数列は，
$1,3,5,7,9$ です。

1と2を合わせて $n$ 個並べて，10進数で $n$ 桁の整数を作ることを考える。

例えば $n=3$ のときは，111・112・121・122・211・212・221・222の8通りが考えられる。

(1) $n=4$ のとき，何通りの整数がありうるか求めよ。

(2) 偶数は何通りできるか $n$ を用いて表せ。

(3) 3の倍数は何通りできるか $n$ を用いて表せ。

(4) $n \geqq 2$ のとき，最小の素因数が7以上である整数は何通りできるか $n$ を用いて表せ。

ただし整数 $N$ の素因数とは，$N$ を割り切る素数のことを意味する。

フィボナッチ数列(fibonacci sequence)とは，

• 最初の2つは $1$ で，
• 3つめ以降は「前の2つを足したもの」

になる数列のこと。つまり，

$1,1,2,3,5,8,13,21,34,\dots$

数列 $a_n$ に対して， $$f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k$$ を（数列 $a_n$ の）母関数と呼ぶことがある。

漸化式 $$a_{n+1} = 4 a_n (1-a_n)$$ は，$a_1=\sin^2\theta$ と置くと倍角公式が出現してうまくいきます。知らないと厳しい問題です。

分数の分母にさらに分数が含まれている以下のような形のものを連分数と言います：

$$a_0+\dfrac{b_1}{a_1+\frac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\cdots}}}$$

コッホ曲線，コッホ雪片の長さは無限大である。

数列 $\{ a_n \}$，$\{ b_n \}$ について，次のどちらかを満たすとする。

1. $\{ b_n \}$ は単調増加（もしくは単調減少）で $\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = \pm\infty$
2. $\{ b_n \}$ は単調増加（もしくは単調減少）で $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = 0$

このとき，極限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}}$ が存在すれば， $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}}$$ である。

1. $a_1,a_2,...,a_n$ の中で最大のものを求める問題では，$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}$ と $1$ を比較するとよい。

2. $(Ax+B)^{n}$ を展開したときの $x^k$ の係数を $a_k$ とおく。$a_k$ を最大にするのは（多くの場合） $k\fallingdotseq \dfrac{An}{A+B}$ のとき。

3. 反復試行の確率の最大値（二項分布の最頻値）も2からわかる。

4. $a_k={}_n\mathrm{C}_k\left(\dfrac{m}{n}\right)^k\left(1-\dfrac{m}{n}\right)^{n-k}$ を最大にする $k$ は $k=m$

数列 $\{ a_n \}$ を $$\begin{aligned} & a_1 = a_2 = 1\\ & a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \end{aligned}$$ により定め，数列 $\{ b_n \}$ を $$\tan b_n = \dfrac{1}{a_n}$$ により定める。ただし，$0 < b_n < \dfrac{\pi}{2}$ とする。

(1) $n \geqq 2$ に対して，$a_{n+1} a_{n-1} - {a_n}^2$ を求めよ。

(2) $m \geqq 1$（$m$ は整数）に対して，$a_{2m} \cdot \tan (b_{2m+1} + b_{2m+2})$ を求めよ。

(3) 無限級数 $\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} b_{2m+1}$ を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$1$ から $n$ までの数字が書かれた札が各1枚ずつ合計 $n$ 枚あり，横一列におかれている。$1$ 以上 $(n-1)$ 以下の整数 $i$ に対して，次の操作 $(\mathrm{T}_i)$ を考える。

$(\mathrm{T}_i)$：左から $i$ 番目の札の数字が，左から $(i+1)$ 番目の札の数字よりも大きければ，これら2枚の札の位置を入れかえる。そうでなければ，札の位置をかえない。

最初の状態において札の数字は左から $A_1, A_2, \cdots , A_n$ であったとする。この状態から $(n-1)$ 回の操作 $(\mathrm{T}_1), (\mathrm{T}_2) , \cdots , (\mathrm{T}_{n-1})$ を順に行った後，続けて $(n-1)$ 回の操作 $(\mathrm{T}_{n-1}), \cdots ,(\mathrm{T}_2) , (\mathrm{T}_{1})$ を順に行ったところ，札の数字は左から $1,2, \cdots , n$ と小さい順に並んだ。以下の問いに答えよ。

1. $A_1$ と $A_2$ のうち少なくとも一方は $2$ 以下であることを示せ。
2. 最初の状態としてありうる札の数字の並び方 $A_1,A_2, \cdots , A_n$ の総数を $c_n$ とする。$n$ が $4$ 以上の整数であるとき，$c_n$ を $c_{n-1}$ と $c_{n-2}$ を用いて表せ。

$a_0=2, a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$

で定義される数列をシルベスターの数列と言う。

$2$ 以上の自然数 $k$ に対して，

初期条件： $a_0=a_1=\cdots=a_{k-1}=1$

および漸化式： $a_na_{n-k}=\displaystyle\sum_{i=1}^{\lfloor k/2\rfloor}a_{n-i}a_{n-k+i}$

で定義される数列をソモスの数列という。

任意の正の整数は「連続しない」フィボナッチ数の和で一意に表すことができる。

$0$ 以上 $1$ 以下であり，分母が $n$ 以下であるような既約分数を小さい順に並べた数列を（$n$ に対応する）ファレイ数列という。

各項の各桁は $1,2,3$ のいずれかである。

ある規則にもとづいて区切られた（グループ分けされた）数列のことを群数列と呼ぶ。

例. $2, | 4, 6, | 8, 10, 12, | 14, 16, 18, 20, |\cdots$