数列

    更新日時 2021/03/11

    4乗の和,べき乗の和の公式

    S1=k=1nk=12n(n+1)S_1=\displaystyle\sum_{k=1}^nk=\dfrac{1}{2}n(n+1)

    S2=k=1nk2=16n(n+1)(2n+1)S_2=\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)

    S3=k=1nk3={12n(n+1)}2S_3=\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3=\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\}^2

    S4=k=1nk4=130n(n+1)(2n+1)(3n2+3n1)S_4=\displaystyle\sum_{k=1}^nk^4=\dfrac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)

    S5=k=1nk5=112n2(n+1)2(2n2+2n1)S_5=\displaystyle\sum_{k=1}^nk^5=\dfrac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)

    → 4乗の和,べき乗の和の公式

    数列の母関数の意味とその応用例

    数列 ana_n に対して,その母関数を

    f(x)=k=0akxkf(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k

    と定義する。

    → 数列の母関数の意味とその応用例

    f(n)を含む二項間漸化式の2通りの解法

    f(n)f(n) が多項式のとき二項間漸化式

    an+1=pan+f(n)a_{n+1}=pa_n+f(n)

    を解く方法を2通り紹介します。2つ目の方法「一般項を予想する」というのが計算量が少ないのでオススメです!

    →f(n)を含む二項間漸化式の2通りの解法

    三項間漸化式の3通りの解き方

    三項間漸化式:

    an+2=pan+1+qana_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n

    の3通りの解法と,それぞれのメリットデメリットを解説します。

    → 三項間漸化式の3通りの解き方

    ロジスティック写像と漸化式

    一般項を求めるのが難しそうな漸化式を,三角関数を用いて求めることができる例を2つ紹介します。

    → ロジスティック写像と漸化式

    シルベスターの数列とその性質

    a0=2,an+1=an2an+1a_0=2, a_{n+1}=a_n^2-a_n+1

    で定義される数列をシルベスターの数列と言う

    → シルベスターの数列とその性質

    階乗を用いる漸化式の解法

    漸化式の ana_nan1a_{n-1} の係数に nn が含まれている場合,両辺に何かしらかけたり割ったりして f(n+1)an+1f(n+1)a_{n+1}f(n)anf(n)a_n を作り出せばうまくいくことが多い

    → 階乗を用いる漸化式の解法

    ソモスの数列

    ソモスの数列:

    22 以上の自然数 kk に対して,

    初期条件: a0=a1==ak1=1a_0=a_1=\cdots=a_{k-1}=1

    および漸化式: anank=i=1k/2aniank+ia_na_{n-k}=\displaystyle\sum_{i=1}^{\lfloor k/2\rfloor}a_{n-i}a_{n-k+i}

    で定義される数列をソモスの数列という。

    → ソモスの数列

    連分数展開とその計算方法

    • 有理数の連分数展開はユークリッドの互除法に対応している
    • 有理数     \iff 連分数展開が有限回で終わる

    主に有理数の連分数展開に関する基本的な知識を解説します。連分数を背景とした入試問題もいくつか出題されています。

    → 連分数展開とその計算方法

    等比数列の和の公式の証明といろんな例

    等比数列とは,1,3,9,27,811,3,9,27,81 のように「一定の比率で変化していく」ような数列のことです。 1+3+9+27+811+3+9+27+81 のような等比数列の和は, 等比数列の和の公式 を使って計算することができます。

    → 等比数列の和の公式の証明といろんな例

    ゼッケンドルフの定理とその証明

    ゼッケンドルフの定理(Zeckendorf):

    任意の正の整数は「連続しない」フィボナッチ数の和で一意に表すことができる。

    → ゼッケンドルフの定理とその証明

    数列の発散,収束,振動の意味と具体例

    数列の極限は,

    1.(有限の値に)収束する

    2A.正の無限大に発散する

    2B.負の無限大に発散する

    3.振動する

    のいずれかである。2と3の場合をいずれも発散すると言う。

    最初に発散,収束,振動の意味をそれぞれ説明し,後半で具体例をいろいろ紹介します。

    → 数列の発散,収束,振動の意味と具体例

    無限等比級数の収束,発散の条件と証明など

    無限等比級数とは,無限に続く等比数列の和のことです。

    例えば,

    1+12+14+18+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\cdots

    は無限に続く等比数列の和なので,無限等比級数です。

    → 無限等比級数の収束,発散の条件と証明など

    等差数列の和の公式の例題と証明など

    初項が aa ,公差が dd ,項数が nn であるような等差数列の和は, S=12n(2a+(n1)d)S=\dfrac{1}{2}n(2a+(n-1)d)

    等差数列の和の公式を使う例題,証明,考察の順に解説していきます。

    → 等差数列の和の公式の例題と証明など

    ファレイ数列の4つの性質とその証明

    00 以上 11 以下であり,分母が nn 以下であるような既約分数を小さい順に並べた数列を(nn に対応する)ファレイ数列という。

    → ファレイ数列の4つの性質とその証明

    コッホ曲線の次元,曲線の長さなど

    コッホ曲線と呼ばれる有名なフラクタル図形について解説します。コッホ雪片の長さ,面積は大学入試問題(数列の極限の問題)としても妥当なレベルです。

    → コッホ曲線の次元,曲線の長さなど

    ペラン数列の一般項および素数との関係

    p0=3,p1=0,p2=2p_0=3,p_1=0,p_2=2,

    pn=pn2+pn3(n3)p_n=p_{n-2}+p_{n-3}\:(n\geq 3)

    によって定まる数列 pnp_n をペラン数列と言う。

    → ペラン数列の一般項および素数との関係

    モーザー数列

    円周上に nn 個の頂点を打ち,その全ての2頂点間を線分で結ぶ。このとき,円は MM 個の領域に分割されるとする。

    MM の最大値は an=124(n46n3+23n218n+24)a_n=\dfrac{1}{24}(n^4-6n^3+23n^2-18n+24)

    Moser’s circle problem という問題です。数列 {an}\{a_n\} をモーザー数列と言います。

    → モーザー数列

    一次分数型の漸化式の解法と例題

    an+1=Aan+BCan+D(C0)a_{n+1}=\dfrac{Aa_{n}+B}{Ca_n+D}\:(C\neq 0) という漸化式で表される数列の一般項を求める問題について考えます。

    → 一次分数型の漸化式の解法と例題

    連立漸化式の3通りの解き方

    連立漸化式:

    an+1=Aan+Bbna_{n+1}=Aa_n+Bb_n

    bn+1=Can+Dbnb_{n+1}=Ca_n+Db_n

    の3通りの解き方を,例題を通じて解説します。

    → 連立漸化式の3通りの解き方

    Look-and-say sequence(見て言って数列)

    この記事では,以下のような数列について考えます。

    1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, \dots

    面白い性質と規則性を持った数列です。

    → Look-and-say sequence(見て言って数列)

    シグマ記号の意味とその公式の応用例

    シグマ記号の公式:

    シグマ記号 Σ\Sigma は「たくさんの足し算」を簡潔に表すための記号。シグマ記号に関連して,以下の公式が成立する: k=1na=nak=1nk=12n(n+1)k=1nk2=16n(n+1)(2n+1)k=1nk3={12n(n+1)}2k=1nrk1=1rn1r(r1)\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} a &= na \\ \sum_{k=1}^{n} k &= \dfrac{1}{2} n(n+1) \\ \sum_{k=1}^{n} k^2 &= \dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ \sum_{k=1}^{n} k^3 &= \left\{\dfrac{1}{2} n(n+1)\right\}^2\\ \sum_{k=1}^{n} r^{k-1} &= \dfrac{1-r^n}{1-r} \quad (r \neq 1)\\ \end{aligned}

    高校数学で習うシグマ記号について,定義・公式・証明を紹介します。また,シグマ記号を使う問題とその解説をします。

    → シグマ記号の意味とその公式の応用例