フィボナッチ数列の7つの性質(一般項・黄金比・互いに素)

更新日時 2021/08/17
フィボナッチ数列

フィボナッチ数列(fibonacci sequence)とは,

  • 最初の2つは 11 で,
  • 3つめ以降は「前の2つを足したもの」

になる数列のこと。つまり,

1,1,2,3,5,8,13,21,34,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\dots

フィボナッチ数列の定義

フィボナッチ数列の意味と,7つの性質を紹介します。

目次
  • フィボナッチ数列とは

  • 一般項(ビネの公式)

  • 黄金比

  • 隣接する二項は互いに素

  • その他の性質

フィボナッチ数列とは

  • フィボナッチ数列
    1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, \cdots
    は,最初の2つが1で,それ以降は「前の2つを足したもの」で定まる数列です。

  • 漸化式を使うと,F1=F2=1,Fn=Fn1+Fn2(n3)F_1=F_2=1,F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\:(n\geq 3) で定まる数列と言えます。

  • フィボナッチ数列にあらわれる数をフィボナッチ数と言います。例えば,5588 はフィボナッチ数です。

  • フィボナッチ数列はいろいろな分野で登場します。大学入試問題では,数列の問題としてだけでなく,場合の数の問題(漸化式をたてて解く問題),整数問題に登場したりもします。

フィボナッチ数列の性質を5つ紹介していきます。

一般項(ビネの公式)

性質1(ビネの公式)

フィボナッチ数列の nn 番目の数は,

Fn=15{(1+52)n(152)n}F_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\}

と表せる。

これを「ビネの公式」と言います。

15{(1+52)3(152)3}\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^3-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^3\right\}

という一見複雑な式を計算すると,それはフィボナッチ数列の3項目である 22 になる。

一般項の式には無理数が含まれていますが,計算してみると整数になるというのは不思議ですね。

証明は,三項間漸化式の3通りの解き方にある方法で漸化式を解くだけです。

証明

Fn=Fn1+Fn2F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} という漸化式を解きたい。

特性方程式 x2=x+1x^2=x+1 の解を α=1+52,β=152\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, \beta=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} とおくと,α+β=1,αβ=1\alpha+\beta=1, \alpha\beta=-1 より

Fn=(α+β)Fn1αβFn2F_n=(\alpha+\beta)F_{n-1}-\alpha\beta F_{n-2}

これを変形して,

FnαFn1=β(Fn1αFn2)F_n-\alpha F_{n-1}=\beta(F_{n-1}-\alpha F_{n-2})

よって,FnαFn1F_n-\alpha F_{n-1} は公比 β\beta の等比数列となる:

FnαFn1=βn2(F2αF1)=βn1F_n-\alpha F_{n-1}=\beta^{n-2}(F_2-\alpha F_1)=\beta^{n-1}

同様にして,

FnβFn1=αn2(F2βF1)=αn1F_n-\beta F_{n-1}=\alpha^{n-2}(F_2-\beta F_1)=\alpha^{n-1}

この2式から Fn1F_{n-1} を消去して FnF_n について解く:

Fn=αnβnαβ=15{(1+52)n(152)n}F_n=\dfrac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\}

補足:高校数学で登場する三項間漸化式は,ほとんどの場合特性方程式の解が整数になりますが,フィボナッチ数列の特性方程式の解は無理数なので計算が多少複雑でした。

ちなみに,性質1(ビネの公式)の証明は帰納法でもできます。

証明の概要

n=1,n=2n=1, n=2 のときビネの公式が正しいことは簡単に確認できる。

n=k,k+1n=k, k+1 のときにビネの公式が正しいと仮定すると,

Fk+2=αk+1βk+1αβ+αkβkαβ=αk+2βk+2αβF_{k+2}=\dfrac{\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}}{\alpha-\beta}+\dfrac{\alpha^{k}-\beta^{k}}{\alpha-\beta}=\dfrac{\alpha^{k+2}-\beta^{k+2}}{\alpha-\beta}

(α+1=α2,β+1=β2)\because \alpha+1=\alpha^2, \beta+1=\beta^2)

となり,n=k+2n=k+2 のときも正しい。

黄金比

性質2

フィボナッチ数列の,隣り合う2項の比は黄金比に近づいていきます。

黄金比とは,α=1+52\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} のことです。

例えば,フィボナッチ数列をどんどん計算して,F100001F100000\dfrac{F_{100001}}{F_{100000}} を求めて見ると,それは黄金比とほぼ等しくなります。

証明

性質1(ビネの公式)より,

limnFn+1Fn=limnαn+1βn+1αnβn=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{F_{n+1}}{F_n}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha^n-\beta^n}=\alpha

(α>β)(\because \alpha > \beta)

隣接する二項は互いに素

性質3

フィボナッチ数列 1,1,2,3,5,8,13,21,1,1,2,3,5,8,13,21,\dots について,どの隣り合う2項も互いに素(最大公約数は1)

例えば,881313 の最大公約数は1です。

性質3を証明してみましょう。

証明

FkF_kFk1F_{k-1} が共通の約数 p2p\geq 2 を持つと仮定すると,

Fk=mp,Fk1=npF_k=mp, F_{k-1}=np
(ただし m,n,pm, n, p は整数)と書ける。

漸化式より,

Fk2=FkFk1=(mn)pF_{k-2}=F_{k}-F_{k-1}=(m-n)p

pp の倍数なので,

Fk1F_{k-1}Fk2F_{k-2} も共通因数 pp を持つ。

これを繰り返すと F2F_2F1F_1 も共通因数 pp を持つ。

これは F2=F1=1F_2=F_1=1 に矛盾

このように,通常の数学的帰納法とは逆向きに進めていく帰納法を後ろ向き帰納法(無限降下法)といいます。数学的帰納法に関しては様々なタイプがあるので,数学的帰納法のパターンまとめを参考にしてみてください。

その他の性質

性質4

Fm+n=Fm1Fn+FmFn+1F_{m+n}=F_{m-1}F_{n}+F_{m}F_{n+1}

ただし,m,nm,n は任意の正の整数で,F0=0F_0=0 とする。

フィボナッチ数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\cdots について,2×8+3×13=552\times 8+3\times 13=55 などが成立するというおもしろい性質です。

性質1(ビネの公式)を使って右辺を計算すると左辺と一致することがわかります。また,以下のように nn に関する帰納法でも証明できます。

証明
  • n=1n=1 のとき,Fm+1=Fm1F1+FmF2F_{m+1}=F_{m-1}F_1+F_{m}F_2 はフィボナッチ数列の漸化式そのものであり成立。

  • n=2n=2 のとき,フィボナッチ数列の漸化式を使うと
    Fm+2=Fm+1+Fm=Fm1+2Fm=Fm1F2+FmF3F_{m+2}=F_{m+1}+F_{m}\\ =F_{m-1}+2F_{m}\\ =F_{m-1}F_2+F_{m}F_{3}
    となり成立。

  • n=kn=kn=k1n=k-1 の場合も正しいと仮定して n=k+1n=k+1 の場合を計算すると,
    Fm+k+1=Fm+k+Fm+k1=(Fm1Fk+FmFk+1)+(Fm1Fk1+FmFk)=Fm1(Fk+Fk1)+Fm(Fk+1+Fk)=Fm1Fk+1+FmFk+2F_{m+k+1}=F_{m+k}+F_{m+k-1}\\ =(F_{m-1}F_{k}+F_{m}F_{k+1})+(F_{m-1}F_{k-1}+F_{m}F_{k})\\ =F_{m-1}(F_{k}+F_{k-1})+F_{m}(F_{k+1}+F_{k})\\ =F_{m-1}F_{k+1}+F_{m}F_{k+2}
    となり成立。

性質5(Divisibility)

m,nm,n33 以上の整数とする。

FnF_nFmF_m の倍数     \iff nnmm の倍数。

フィボナッチ数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\cdots について, 33 つおきに F3=2F_3=2 の倍数が登場,44 つおきに F4=3F_4=3 の倍数が登場,55 つおきに F4=5F_4=5 の倍数が登場,という性質です!

性質5は性質4と帰納法で証明できます。ProofWiki

性質6

任意の正の整数は「連続しない」フィボナッチ数の和で一意に表すことができる。

定理の意味と証明はゼッケンドルフの定理とその証明で説明しています。

性質7

pp を素数とし,p2,5p\neq 2,5 とする。フィボナッチ数列を pp で割った余りを並べた数列の周期について,

pp55 で割った余りが 11 または 44 なら,周期は p1p-1 の約数

pp55 で割った余りが 22 または 33 なら,周期は 2(p+1)2(p+1) の約数

詳しくは数列における余りの周期性(特にフィボナッチ数列)で説明しています。

高校時代はじめてビネの公式を見たときはとても感動しました。

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