リュカ数の意味とおもしろい性質～フィボナッチ数列の拡張

$L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}$ という漸化式を解きたい。

特性方程式 $x^2=x+1$ の解を $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, \beta=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ とおくと，$\alpha+\beta=1, \alpha\beta=-1$ より

$$L_n=(\alpha+\beta)L_{n-1}-\alpha\beta L_{n-2}$$

これを変形して，

$$L_n-\alpha L_{n-1}=\beta(L_{n-1}-\alpha L_{n-2})$$

よって，$L_n-\alpha L_{n-1}$ は公比 $\beta$ の等比数列となる：

$$\begin{aligned} L_n-\alpha L_{n-1} &= \beta^{n-1} (L_1-\alpha L_0)\\ &= \beta^{n-1} (1-2\alpha)=-\sqrt{5}\beta^{n-1} \end{aligned}$$

同様にして，

$$\begin{aligned} L_n-\beta L_{n-1} &= \alpha^{n-1} (L_1-\beta L_0)\\ &= \alpha^{n-1} (1-2\beta) \\ &= \sqrt{5}\alpha^{n-1} \end{aligned}$$

この2式から $L_{n-1}$ を消去して $L_n$ について解く： $$\begin{aligned} L_n&=\dfrac{\sqrt{5}\alpha^n+\sqrt{5}\beta^n}{\alpha-\beta}\\ &=\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \end{aligned}$$ こうして示された。

さきほど求めた一般項：

$F_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^n-\beta^n)$
$L_n=\alpha^n+\beta^n$

を代入するだけ：

• 第1式 $$\begin{aligned} &F_mL_n+L_mF_n\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\{(\alpha^m-\beta^m)(\alpha^n+\beta^n)+(\alpha^m+\beta^m)(\alpha^n-\beta^n)\}\\ &=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\{\alpha^{m+n}-\beta^{m+n}\}\\ &=2F_{m+n} \end{aligned}$$

• 第2式 $$\begin{aligned} &L_mL_n+5F_mF_n\\ &=(\alpha^m+\beta^m)(\alpha^n+\beta^n)+(\alpha^m-\beta^m)(\alpha^n-\beta^n)\\ &=2\alpha^{m+n}+2\beta^{m+n}\\ &=2L_{m+n} \end{aligned}$$

三角関数を微分すると位相が90度進むので，

$$(\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}n\right)$$

また，

$$\begin{aligned} &(\cos x)^{(n)}\\ &=\left(\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{(n)}\\ &=\dfrac{i^ne^{ix}+(-i)^ne^{-ix}}{2} \end{aligned}$$

表記簡略化のために $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ とおき，$x=ni\log\phi$ を代入する：

$$\begin{aligned} &\cos n\theta\\ &=\dfrac{i^ne^{ini\log\phi}+(-i)^ne^{-ini\log\phi}}{2}\\ &=\dfrac{i^n}{2}\{e^{-n\log\phi}+(-1)^ne^{n\log\phi}\}\\ &=\dfrac{i^n}{2}(\phi^{-n}+(-\phi)^n)\\ &=\dfrac{(-1)^n}{2i^n}(\phi^{-n}+(-\phi)^n)\\ &=\dfrac{1}{2i^n}\left\{\phi^{n}+\left(-\dfrac{1}{\phi}\right)^n\right\} \end{aligned}$$

ここで，$-\dfrac{1}{\phi}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ に注意して「リュカ数の一般項」を使うと上式は $\dfrac{1}{2i^n}L_n$ となる。