リュカ数の意味とおもしろい性質

$L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}$ という漸化式を解きたい。

特性方程式 $x^2=x+1$ の解を $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, \beta=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ とおくと，$\alpha+\beta=1, \alpha\beta=-1$ より

$L_n=(\alpha+\beta)L_{n-1}-\alpha\beta L_{n-2}$

これを変形して，

$L_n-\alpha L_{n-1}=\beta(L_{n-1}-\alpha L_{n-2})$

よって，$L_n-\alpha L_{n-1}$ は公比 $\beta$ の等比数列となる：

$L_n-\alpha L_{n-1}=\beta^{n-1}(L_1-\alpha L_0)\\=\beta^{n-1}(1-2\alpha)=-\sqrt{5}\beta^{n-1}$

同様にして，

$L_n-\beta L_{n-1}=\alpha^{n-1}(L_1-\beta L_0)\\=\alpha^{n-1}(1-2\beta)=\sqrt{5}\alpha^{n-1}$

この2式から $L_{n-1}$ を消去して $L_n$ について解く：

$L_n=\dfrac{\sqrt{5}\alpha^n+\sqrt{5}\beta^n}{\alpha-\beta}\\ =\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$

さきほど求めた一般項：

$F_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^n-\beta^n)$
$L_n=\alpha^n+\beta^n$

を代入するだけ：

$F_mL_n+L_mF_n\\ =\dfrac{1}{\sqrt{5}}\{(\alpha^m-\beta^m)(\alpha^n+\beta^n)+(\alpha^m+\beta^m)(\alpha^n-\beta^n)\}\\ =\dfrac{2}{\sqrt{5}}\{\alpha^{m+n}-\beta^{m+n}\}\\ =2F_{m+n}$

$L_mL_n+5F_mF_n\\ =(\alpha^m+\beta^m)(\alpha^n+\beta^n)+(\alpha^m-\beta^m)(\alpha^n-\beta^n)\\ =2\alpha^{m+n}+2\beta^{m+n}\\ =2L_{m+n}$

三角関数を微分すると位相が90度進むので，

$(\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}n\right)$

また，

$(\cos x)^{(n)}\\ =\left(\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{(n)}\\ =\dfrac{i^ne^{ix}+(-i)^ne^{-ix}}{2}$

表記簡略化のために $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ とおき，$x=ni\log\phi$ を代入する：

$\cos n\theta\\ =\dfrac{i^ne^{ini\log\phi}+(-i)^ne^{-ini\log\phi}}{2}\\ =\dfrac{i^n}{2}\{e^{-n\log\phi}+(-1)^ne^{n\log\phi}\}\\ =\dfrac{i^n}{2}(\phi^{-n}+(-\phi)^n)\\ =\dfrac{(-1)^n}{2i^n}(\phi^{-n}+(-\phi)^n)\\ =\dfrac{1}{2i^n}\left\{\phi^{n}+\left(-\dfrac{1}{\phi}\right)^n\right\}$

ここで，$-\dfrac{1}{\phi}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ に注意して「リュカ数の一般項」を使うと上式は $\dfrac{1}{2i^n}L_n$ となる。