黄金比が現れるいろいろな例（方程式・図形・数列）と現れる理由

• $\sqrt{5}$ は2乗して $5$ になる数です。
• $\sqrt{5}\fallingdotseq 2.2360679$ です。→ルート2，ルート3，ルート5の覚え方など
• 黄金比は $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ ですが，この近似値は $1.61803398875$ です。$1.6$ までは覚えておくとよいです。
• 単に $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ のことを黄金比と呼ぶこともありますし，「$1:\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ という比率」を黄金比と呼ぶこともあります。

黄金比は様々な場面で登場します，まずは最も重要な性質を紹介します。

数学の諸分野や自然界に黄金比が登場するのは，性質1が元になっています。

様々な場面で黄金比が登場するので神秘的に思えますが，その背後には必ず上記の方程式があり，この方程式がいろいろな場面で登場するだけです。

以下では黄金比が登場する，すなわち上記の方程式が登場する例を紹介します。

黄金長方形

以下，黄金比 $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ のことを $\phi$ と書きます。

縦と横の比が黄金比 $\phi$ である長方形を黄金長方形と言います。

黄金比が現れる図形

• 頂角が $36^{\circ}$ の二等辺三角形の辺の比は黄金比です。
  →覚えておくと便利な三角比の値の下の方

• また，本質的には同じことですが一辺が1の正五角形の対角線の長さは黄金比です。
  →トレミーの定理とその3通りの証明，応用例の応用例2を参照してください。

• さらに，正二十面体を座標表示したときにも黄金比が登場します。
  →正二十面体の対角線・体積・内接球などを座標で計算

しつこいようですが，全て方程式 $x^2-x-1=0$ が元になっています。

黄金比とフィボナッチ数列

フィボナッチ数列は $1,1,2,3,5,8,13,21,...$ と続きますが，この比は黄金比に近づいていきます。実際，$\dfrac{21}{13}\fallingdotseq 1.615$ であり，この時点で黄金比にかなり近いです。

これはフィボナッチ数列の漸化式 $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$ の特性方程式が $x^2-x-1=0$ であることによっています。

詳しい証明は以下を参照してください。 →フィボナッチ数列の7つの性質（一般項・黄金比・互いに素）

黄金比のいろいろな表示

黄金比はルートを無限個用いて表せます。

また，黄金比は無限連分数展開でも表せます。

背後には方程式 $x^2-x-1=0$ が潜んでいます。

• パルテノン神殿の縦横比など，建築にも黄金比が登場します。
• 巻き貝や植物の形など自然界にも黄金比が登場すると言われています。
• 「黄金比は人間が最も美しいと感じる比率である」という説もあります。