黄金比にまつわる話題

更新日時 2021/03/07

1+52\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}黄金比と呼ばれ,いろいろな場所に出現する。

1:1+521:\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} という比率」を黄金比と呼ぶこともありますし,単に ϕ\phi のことを黄金比と呼ぶこともあります。

目次
  • 黄金比と2次方程式

  • 黄金比と代数

  • 黄金比と図形

  • いろいろなとこに黄金比

黄金比と2次方程式

ϕ\phi の近似値は 1.6181.618 です。1.61.6 までは覚えておくとよいでしょう。

黄金比は様々な場面で登場します,まずは最も重要な性質を紹介します。

性質1

黄金比は方程式 x2x1=0x^2-x-1=0 の解である。

性質1は二次方程式を実際に解くことで簡単に確認できます。黄金比の定義と見ることもできます。数学の諸分野や自然界に黄金比が登場するのは,全て性質1が元になっています。

すなわち,なんらかのシステムが x2x1=0x^2-x-1=0 という方程式の成立を要求するときに,そのシステムに黄金比が登場します。様々な場面で黄金比が登場するので神秘的に思えますが,その背後には必ず上記の方程式があり,この方程式がいろいろな場面で登場するというわけです。

以下では黄金比が登場する,すなわち上記の方程式が登場する様々な例を紹介します。

黄金比と代数

黄金比はルートを無限個用いて表すことができます。

性質2

s=1+1+1+1+s=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}} とおくと ss は黄金比

性質2の証明: sss=1+ss=\sqrt{1+s} を満たす正の数です。これは整理すると s>0s > 0 かつ s2s1=0s^2-s-1=0 となり黄金比が登場します。

また,無限連分数展開で表示することができます。

性質3

t=1+11+11+11+11+t=1+\dfrac{1}{1+\tfrac{1}{1+\tfrac{1}{1+\tfrac{1}{1+\cdots}}}} とおくと tt は黄金比

性質3の証明: ttt=1+1tt=1+\dfrac{1}{t} を満たす正の数です。これは整理すると t>0t > 0 かつ t2t1=0t^2-t-1=0 となり黄金比が登場します。

背後には方程式 x2x1=0x^2-x-1=0 が潜んでいます。

性質4

フィボナッチ数列の隣り合う項の比の極限は黄金比である。

これはフィボナッチ数列の漸化式 an=an1+an2a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2} の特性方程式が x2x1=0x^2-x-1=0 であることによっています。

詳しくは以下を参照してください。 →フィボナッチ数列の一般項と数学的帰納法

黄金比と図形

しつこいようですが,全て方程式 x2x1=0x^2-x-1=0 が元になっています。

いろいろなとこに黄金比

  • パルテノン神殿の縦横比など,建築にも黄金比が登場するらしいです。
  • 巻き貝や植物の形など自然界にも黄金比が登場するらしいです。
  • 「黄金比は人間が最も美しいと感じる比率である」という説もあるらしいです。

ちなみに「白銀比」もあるらしいです。