黄金比にまつわる話題

黄金比と2次方程式

$\phi$ の近似値は $1.618$ です。$1.6$ までは覚えておくとよいでしょう。

黄金比は様々な場面で登場します，まずは最も重要な性質を紹介します。

性質1は二次方程式を実際に解くことで簡単に確認できます。黄金比の定義と見ることもできます。数学の諸分野や自然界に黄金比が登場するのは，全て性質1が元になっています。

すなわち，なんらかのシステムが $x^2-x-1=0$ という方程式の成立を要求するときに，そのシステムに黄金比が登場します。様々な場面で黄金比が登場するので神秘的に思えますが，その背後には必ず上記の方程式があり，この方程式がいろいろな場面で登場するというわけです。

以下では黄金比が登場する，すなわち上記の方程式が登場する様々な例を紹介します。

黄金比と代数

黄金比はルートを無限個用いて表すことができます。

性質2の証明： $s$ は $s=\sqrt{1+s}$ を満たす正の数です。これは整理すると $s > 0$ かつ $s^2-s-1=0$ となり黄金比が登場します。

また，無限連分数展開で表示することができます。

性質3の証明： $t$ は $t=1+\dfrac{1}{t}$ を満たす正の数です。これは整理すると $t > 0$ かつ $t^2-t-1=0$ となり黄金比が登場します。

背後には方程式 $x^2-x-1=0$ が潜んでいます。

これはフィボナッチ数列の漸化式 $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$ の特性方程式が $x^2-x-1=0$ であることによっています。

詳しくは以下を参照してください。 →フィボナッチ数列の7つの性質（一般項・黄金比・互いに素）

黄金比と図形

• 頂角が $36^{\circ}$ の二等辺三角形の辺の比は黄金比です。
  →覚えておくと便利な三角比の値の下の方

• また，本質的には同じことですが一辺が1の正五角形の対角線の長さは黄金比です。
  →トレミーの定理とその3通りの証明，応用例の応用例2を参照してください。

• さらに，正二十面体を座標表示したときにも黄金比が登場します。
  →正二十面体の対角線・体積・内接球などを座標で計算

しつこいようですが，全て方程式 $x^2-x-1=0$ が元になっています。

いろいろなとこに黄金比

• パルテノン神殿の縦横比など，建築にも黄金比が登場するらしいです。
• 巻き貝や植物の形など自然界にも黄金比が登場するらしいです。
• 「黄金比は人間が最も美しいと感じる比率である」という説もあるらしいです。