正二十面体の対角線・体積・内接球などを座標で計算

12個の中から適当に点を選ぶ。どの点を選んだとしても残り11個の点の中から自分との距離が2の頂点を5つ持ってこれる。

例えば，$(1,\phi,0)$ を選ぶと，それと距離が2の5つの頂点 $(-1,\phi,0),(\phi,0,\pm 1),(0,1,\pm \phi)$ を持ってこれる。対称性より他も同様。

座標空間表示より，$(1,\phi,0)$ と $(-1,-\phi,0)$ の距離が1辺の長さが2の正二十面体の最長の対角線の長さなので，

$$2\sqrt{1+\phi^2}=2\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}}$$

よって，1辺の長さが1の正二十面体の最長の対角線の長さは，

$$\mathbf{\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}}}$$

図のように正二十面体の頂点を4つ選ぶと，$ABCD$ は長方形となる。なぜなら，対称性より $AC,BD$ は正二十面体の中心 $O$ を通り，$OA=OB=OC=OD$ だからである（対角線がそれぞれの中点で交わるので平行四辺形，さらに対角線の長さが等しいので長方形）。

そして，

• $AB=CD=1$
• $AD,BC$ は正五角形の対角線の長さ。例えばトレミーの定理を使って計算すると $AD=BC=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

よって，正二十面体の最長の対角線の長さは，三平方の定理より

$$\sqrt{1^2+\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2} = \mathbf{\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}}}$$

原点と $(\pm 1,\phi,0),(0,1,\phi)$ により作られる四面体の体積はサラスの公式より，

$$\left| \begin{matrix} -1 & \phi & 0\\ 1 & \phi & 0\\ 0 & 1 & \phi \end{matrix} \right|$$ の絶対値である。よって

$$\dfrac{1}{6}|2\phi^2|=\dfrac{3+\sqrt{5}}{6}$$

これを20倍すると1辺の長さが2の正二十面体の体積となるので，1辺の長さが1の正二十面体の体積は，

$$\dfrac{3+\sqrt{5}}{6} \times 20 ÷2^3 = \mathbf{\dfrac{15+5\sqrt{5}}{12}}$$

1辺が1の正二十面体の表面積 $S$ は，

$$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 20=5\sqrt{3}$$

よって，さきほど求めた体積と合わせて，内接球の半径 $r$ を求めることができる：

$$\dfrac{15+5\sqrt{5}}{12}=\dfrac{1}{3}r\cdot 5\sqrt{3}$$

よって， $$r=\mathbf{\dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}}$$