二次方程式の判別式についての知識まとめ

更新日時 2021/03/07

判別式とは,ax2+bx+cax^2+bx+c に対して b24acb^2-4ac のこと。

この記事では,判別式について詳しく解説します。方程式の実数解の個数,二次関数のグラフと xx 軸の交点,d/4について,判別式の第二の姿など。

目次
  • 判別式とは

  • 判別式の符号と方程式の実数解

  • 二次関数のグラフと判別式

  • D/4を用いる理由

  • 判別式の一般化に向けて

判別式とは

判別式とは,二次の多項式 ax2+bx+cax^2+bx+c に対して,b24acb^2-4ac のことです。

例えば,2x2+3x12x^2+3x-1 の判別式は,

3242(1)=173^2-4\cdot 2\cdot(-1)=17

のように計算できます。

英語で判別式を discriminant というので,判別式には DD という記号を用います。

判別式の符号と方程式の実数解

判別式には,重要な性質がいくつもあります。その1つとして,判別式の符号を見れば,二次方程式の実数解の個数が分かるという性質があります。

実際,二次方程式 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 の解は,解の公式より x=b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} です。よって,以下の性質が成立します。

二次方程式 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 について,左辺の判別式を DD とするとき,

  • D>0    D > 0\iff 二次方程式は異なる実数解を2つ持つ。
  • D=0    D=0\iff 二次方程式は実数解を1つ(重解)持つ。
  • D<0    D <0\iff 二次方程式は互いに共役な2つの複素数解を持つ。

3x2+6x+2=03x^2+6x+2=0

という二次方程式において,判別式は D=62432=12D=6^2-4\cdot 3\cdot 2=12 より判別式は正。よって,実数解を二つ持つことが分かる。

このように判別式 DD の符号を見ることで,方程式の解についての情報を得られます。

二次関数のグラフと判別式

さきほどの判別式の性質は,判別式の符号を見れば,二次関数のグラフと xx 軸との交点の個数が分かると言い換えることもできます。

実際「f(x)=0f(x)=0 の解」と「 y=f(x)y=f(x)xx 軸の交点」は対応するので,さきほどの定理は以下のように言い換えられます。

二次関数 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c について,判別式を

DD とするとき,

  • D>0    D > 0\iff 二次関数は xx 軸と二点で交わる。
  • D=0    D=0\iff 二次関数は xx 軸と一点で交わる(接する)。
  • D<0    D <0\iff 二次関数は xx 軸と交わらない。

y=x2+3x2y=-x^2+3x-{2} に対して,判別式 D=324(1)(2)=1>0D=3^2-4(-1)\cdot (-{2})=1 > 0 である。よってこの二次関数のグラフは xx 軸と2点で交わる。

D/4を用いる理由

判別式を用いるほとんどの問題において 重要なのは値ではなく判別式の符号のみです。よって,以下の理由により bb が偶数のときは DD の代わりに D4=(b2)2ac\dfrac{D}{4}=\left(\dfrac{b}{2}\right)^2-ac を用いるのがオススメです。

  • DD の符号を知りたいとき,D4\dfrac{D}{4} の符号を知れば十分。
  • bb が偶数のとき,DD よりも D4\dfrac{D}{4} の方が計算が簡単。

これはあくまでも計算を簡単にするためのテクニックに過ぎません。しかし,bb が大きい偶数だとけっこう役立ちます。

15x2+24x+10=015x^2+24x+10=0

という二次方程式について,D4=1221510=6\dfrac{D}{4}=12^2-15\cdot 10=-6 より判別式は負。よって実数解を持たないことが分かる。

判別式の一般化に向けて

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 の解を α,β\alpha,\beta とおくことで,判別式は以下のように書くこともできます。

判別式の第二の姿: D=a2(αβ)2D=a^2(\alpha-\beta)^2

実はこっちが由緒正しい判別式の定義です。こちらの姿を使うことによって三次以上の場合にも判別式を拡張できます。

例えば三次多項式の判別式は a4(αβ)2(βγ)2(γα)2a^4(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2 という形をしています。三次以上の判別式はあまり使わないので,ここでは深入りしません。

最後に,二次多項式において,第二の姿がさっきの定義と一致することを確認しておきます。二次方程式における解と係数の関係を用います。

証明

α+β=ba,αβ=ca\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\:\alpha\beta=\dfrac{c}{a} より

a2(αβ)2=a2(α2+β22αβ)=a2{(α+β)24αβ}=a2{(ba)24ca}=b24aca^2(\alpha-\beta)^2\\ =a^2(\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta)\\ =a^2\{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\}\\ =a^2\left\{\left(-\dfrac{b}{a}\right)^2-4\dfrac{c}{a}\right\}\\ =b^2-4ac

となり「いつもの」判別式と一致した。

「由緒正しい」判別式の定義の方が断然きれいです。

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