三次方程式の判別式の意味と使い方

実数係数の三次方程式の解について，以下の3パターンに場合分けできる。

1．重解あり

2．相異なる実数解が3つ

3．実数解が1つと（互いに共役な）複素数解が2つ

それぞれのパターンについて判別式 $D$ の符号を考える。

• 1のとき $D=0$ である（定理1）。
• 2のとき，判別式は明らかに正。
• 3のとき，解は $\alpha,A+Bi,A-Bi$（$\alpha,A,B$ は実数）とおける。
  このとき，判別式を計算すると
  $D=a^4(\alpha-A-Bi)^2(\alpha-A+Bi)^2(2Bi)^2\\ =a^4\{(\alpha-A)^2-(Bi)^2\}^2\times (-4B^2)\\ =-4a^4B^2\{(\alpha-A)^2+B^2\}^2 <0$
  （$B \neq 0$ に注意）

以上により定理2が示された。

三次方程式の解と係数の関係より，$\alpha+\beta+\gamma=0$，$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=c$，$\alpha\beta\gamma=-d$

これを用いて対称式 $(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2$ を $c,d$ で表すと $-4c^3-27d^2$ となる。

$D=4-27t^2$

よって，$D > 0$ となる条件は $t^2 <\dfrac{4}{27}$ である。