三角関数の有理式の積分

$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}}=\dfrac{1+t^2}{2}$ より1つめが成立。

$\sin x=2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}\\ =2\cos^2\dfrac{x}{2}\tan\dfrac{x}{2}\\ =\dfrac{2t}{1+t^2}$

より2つめが成立。

$\cos x=2\cos^2\dfrac{x}{2}-1\\ =\dfrac{2}{1+t^2}-1\\ =\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$

より3つめが成立。

まず，$\tan\dfrac{x}{2}=t$ と置換すると，上記の公式より求める不定積分は

$\displaystyle\int\dfrac{2t}{2t+(1-t^2)}\cdot\dfrac{2}{1+t^2}dt\\ =-4\displaystyle\int\dfrac{t}{(t^2+1)(t-1+\sqrt{2})(t-1-\sqrt{2})}dt$

これを部分分数分解すると，

$-4\displaystyle\int\left\{\dfrac{At+B}{t^2+1}+\dfrac{C}{t-1+\sqrt{2}}+\dfrac{D}{t-1-\sqrt{2}}\right\}dt$

ただし，$A=B=-\dfrac{1}{4}$ ，$C=D=\dfrac{1}{8}$

よって，上式は

$\displaystyle\int\left\{\dfrac{t+1}{t^2+1}-\dfrac{1}{2(t-1+\sqrt{2})}-\dfrac{1}{2(t-1-\sqrt{2})}\right\}dt\\ =\dfrac{1}{2}\log (t^2+1)+\mathrm{Arctan}\:t-\dfrac{1}{2}\log |t-1+\sqrt{2}|-\dfrac{1}{2}\log |t-1-\sqrt{2}|+C\\ =\dfrac{1}{2}\log (t^2+1)+\mathrm{Arctan}\:t-\dfrac{1}{2}\log |t^2-2t-1|+C$

（$\mathrm{Arctan}$ は $\tan$ の逆関数です→逆三角関数の重要な性質まとめ）

ここまででもOKだが，$t$ を $x$ に戻すと（たまたま）きれいになる：

$\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}\log|\sin x+\cos x|+C$