三角関数の有理式の積分

$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}}=\dfrac{1+t^2}{2}$ より1つめが成立。

$$\begin{aligned} \sin x &= 2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}\\ &= 2\cos^2\dfrac{x}{2}\tan\dfrac{x}{2}\\ &= \dfrac{2t}{1+t^2} \end{aligned}$$

より2つめが成立。

$$\begin{aligned} \cos x &= 2\cos^2\dfrac{x}{2}-1\\ &=\dfrac{2}{1+t^2}-1\\ &=\dfrac{1-t^2}{1+t^2} \end{aligned}$$

より3つめが成立。

まず，$\tan\dfrac{x}{2}=t$ と置換すると，上記の公式より求める不定積分は

$$\begin{aligned} &\int\dfrac{2t}{2t+(1-t^2)}\cdot\dfrac{2}{1+t^2}dt\\ &=-4 \int\dfrac{t}{(t^2+1)(t-1+\sqrt{2})(t-1-\sqrt{2})}dt \end{aligned}$$

これを部分分数分解すると，

$$-4\int\left\{\dfrac{At+B}{t^2+1}+\dfrac{C}{t-1+\sqrt{2}}+\dfrac{D}{t-1-\sqrt{2}}\right\}dt$$

ただし，$A=B=-\dfrac{1}{4}$，$C=D=\dfrac{1}{8}$

よって，上式は

$$\begin{aligned} &\int\left\{\dfrac{t+1}{t^2+1}-\dfrac{1}{2(t-1+\sqrt{2})}-\dfrac{1}{2(t-1-\sqrt{2})}\right\}dt\\ &=\dfrac{1}{2}\log (t^2+1)+\mathrm{Arctan}\:t\\ &\quad -\dfrac{1}{2}\log |t-1+\sqrt{2}|-\dfrac{1}{2}\log |t-1-\sqrt{2}|+C\\ &=\dfrac{1}{2}\log (t^2+1)+\mathrm{Arctan}\:t\\ &\quad -\dfrac{1}{2}\log |t^2-2t-1|+C \end{aligned}$$

（$\mathrm{Arctan}$ は $\tan$ の逆関数です→逆三角関数(Arcsin,Arccos,Arctan)の意味と性質）

ここまででもOKだが，$t$ を $x$ に戻すと（たまたま）きれいになる：

$$\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}\log|\sin x+\cos x|+C$$

$I=\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$，$J=\displaystyle\int\dfrac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx$ とおく。

$$I+J=\int 1dx=x+C$$

および $$\begin{aligned} &I-J\\ &=\int\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx\\ &=-\int\dfrac{(\sin x+\cos x)'}{(\sin x+\cos x)}dx\\ &=-\log|\sin x+\cos x|+C \end{aligned}$$

より $I=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}\log|\sin x+\cos x|+C$

分母を単純な三角関数にするために合成してから $x+\dfrac{\pi}{4}=t$ と置換する：

$$\begin{aligned} &\int\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx\\ &=\int\dfrac{\sin x}{\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx\\ &=\int\dfrac{\sin \left(t-\frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{2}\sin t}dt\\ &=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{\sin t-\cos t}{\sin t}dt\\ &=\dfrac{1}{2}t-\dfrac{1}{2}\log|\sin t|+C\\ &=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\log|\sin x+\cos x|+C \end{aligned}$$