整数
ルジャンドルの定理(階乗が持つ素因数のべき数)
に含まれる素因数 の数は以下の式で計算できる:
ただし, は を超えない最大の整数を表す。
無限降下法の整数問題への応用例
このページでは,無限降下法について解説します。
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無限降下法とは何か?
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無限降下法の簡単な応用例: が無理数であることの証明
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無限降下法の難しい応用例:フェルマーの最終定理の
ピタゴラス数の求め方とその証明
ピタゴラス数とは,直角三角形の3辺の長さとなるような3つの整数の組のことです。例えば,3辺の長さが であるような直角三角形が存在するので, はピタゴラス数です。
オイラーのファイ関数のイメージ
自然数 に対して, から までの自然数の中で と互いに素なものの数 は, ただし, は の素因数。
オイラーの 関数(トーシェント関数)についての話です。
ユークリッドの互除法の証明と不定方程式
ユークリッドの互除法(ごじょほう)とは,大きな数字たちの最大公約数を素早く計算する方法です。
この記事では, ユークリッドの互除法のやり方 や ユークリッドの互除法の不定方程式への応用方法 などを解説します。
一次不定方程式ax+by=cの整数解
不定方程式とは, のように,方程式の数よりも未知変数の数が多いような方程式のことです。
この記事では, という不定方程式の整数解について,重要な定理の証明と,実際に不定方程式の一般解を求める方法を説明します。
平方剰余と基本的な問題
1:平方数を3で割った余りは必ず0か1。余りが2になることはない。
2:平方数を4で割った余りは必ず0か1。余りが2か3になることはない。
因数分解公式(ソフィージェルマンの恒等式)
一見因数分解不可能な式も因数分解できるので,整数問題で威力を発揮します。
クロネッカーの稠密定理とその証明
任意の無理数 と を満たす任意の実数 に対して を満たす自然数 が存在する。
は の小数部分という意味です。
整数論のテクニック:平方数でないことの証明
平方数でないことを証明するためには以下の2つの方法が有効な場合が多い。
1:平方剰余を考える
2:両側から1違いの平方数で挟む
ペル方程式に関する基本的な性質まとめ
整数 と に関する不定方程式: をペル方程式と言う
ペル方程式について入試レベルで知っておくと便利な知識を整理しました。
中国剰余定理の証明と例題(二元の場合)
と が互いに素なとき,
を満たす が 以上 未満の範囲に唯1つ存在する。
連立合同式,中国剰余定理の本質的な部分を理解するためにこのページでは二元の場合で が互いに素な場合のみを考えます。より一般の場合は→中国剰余定理と法が互いに素でない場合への拡張
中国剰余定理と法が互いに素でない場合への拡張
たちが互いに素なとき, 本の連立合同式
を満たす が の範囲にただ1つ存在する。
原始根の定義と具体例(高校生向け)
( 以上の)素数 と 以上 未満の整数 が以下の性質を満たすとき を法 に対する原始根と呼ぶ。
「 のいずれもが で割って余り でない」
(また, は に対する原始根である,とする。)
ルジャンドル記号とオイラーの規準
となる整数 が存在するとき を の平方剰余と言います。平方剰余の基本的な話題は平方剰余と基本的な問題を参照して下さい。このページでは平方剰余に関するより発展的な話題を扱います。
フェルマーの二平方和定理
つの整数 を用いて と表される
を素因数分解したときの 型の素数の指数が全て偶数
高々2つの整数の二乗和で表される整数はどんなものか?という疑問に答える非常に有名な定理です。
数オリのテクニック〜Vieta jumping〜
ある文字について二次式であるような不定方程式を,解と係数の関係を用いて解くテクニック
数学オリンピックの不定方程式の中でも難し目の問題に使えるテクニックです。
約数の個数の公式と平方数の性質
約数の個数は「素因数分解して」「それぞれの指数に1を足して」「全部かけあわせる」ことで計算することができます。
約数の個数の公式について,計算例や証明を説明します。また,この公式から導ける平方数に関する重要な定理を解説します。
位数の性質と原始根の応用
における の位数を とする。
を満たすなら は の倍数である。
位数や原始根の話題は高校範囲を逸脱しますが,整数論の様々な定理の証明に役立ちます。上記の性質は特によく使うものです。
ガウス記号の定義と3つの性質
実数 に対して, なる整数 がただ一つ存在するので,その を と書く。
例: ,,
ガウス記号,フロアー関数,床関数,整数部分,など様々な呼び方があります。また, ではなく と書くこともあります(むしろ大学入試では後者の記号を用いることが多い)。
数オリの整数論(難問)に対するテクニック
数学オリンピックの整数問題の中でも難問〜超難問レベルに対してときどき使う,有名なテクニックを解説します。 進付値,オーダーの話,Lifting The Exponent Lemma,LTEの補題,などと言われているものです。
JMO本選以降の対策にどうぞ。
約数の総和を求める二つの公式と証明
正の整数の約数の総和を表す公式を二つ紹介します。一つ目は入試でも頻出の必須公式です。
二つ目はコサインとか出てくる観賞用の公式です。玄人向け。
素因数分解の一意性とその証明について
全ての正の整数は素数の積として(順番を除いて)一意に表せる。
算術の基本定理とも呼ばれる重要な定理です。 一見当たり前ですが実は当たり前ではありません。きちんと証明しようとするとけっこう大変です。
フロベニウスの硬貨交換問題
と が互いに素なとき, 円の硬貨と 円の硬貨を使って支払えない金額の最大値は 円になる。
フロベニウスの硬貨交換問題(硬貨が二種類の場合)についての美しい結果とその証明の解説。
リーマン予想の意味,素数分布との関係
ゼータ関数の非自明な零点の実部は である。
自明な零点(ゼロ点)とは?リーマン予想に関して現在分かっている基本的なこと,素数との関係,暗号との関係について。
エラトステネスのふるいとその計算量
エラトステネスのふるい: 以下の素数を全て見つけ出す高速な方法。
エラトステネスの篩(ふるい)の概要と,愚直に計算するよりも速いこと(計算量が であること)を解説します。
三角数とは,三角数定理,平方数との関係
1.三角数とは?
2.三角数定理!
3.ペル方程式を使って三角数かつ平方数であるものを明示的に表す公式を導出(←感動!)。
平方剰余の相互法則の意味と応用
平方剰余の相互法則(など)を用いることで,与えられた素数 と未満の非負整数に対して で割って 余るような平方数が存在するか否かを素早く判定することができる。
平方剰余の相互法則の意味と応用について解説します。
レイリーの定理とその自然な証明
を満たす正の無理数 に対して以下が成立する。
全ての正の整数は二つの数列
のいずれかに必ず一回だけ登場する。
最大公約数と最小公倍数の積の性質の2通りの証明
正の整数 に対して,それらの最大公約数を ,最小公倍数を とおくと
(最大公約数と最小公倍数の積がもとの二つの数の積に等しい)
フェルマーの最終定理
を3以上の整数とするとき, を満たす正の整数 の組は存在しない。
この記事では,フェルマーの最終定理について,高校数学の範囲で簡単に紹介します。
互いに素の意味と関連する三つの定理
互いに素とは,2つの整数の最大公約数が1であることを言う。例えば, と の最大公約数は なので, と は互いに素。
「互いに素」の意味と,関連する定理を解説します。定理1,2は基本的な内容ですが,定理3は数学マニア向け(美しい!)です。
ゴールドバッハ予想と関連する命題
より大きな偶数は2つの素数の和で表すことができる。
命題1が真なのか偽なのかは分かっていません。整数論における有名な未解決問題です。
Lucasの定理とその証明
任意の素数 と非負整数 に対して,
ただし, は の 進数表示, は の 進数表示。
なお, のときは ですが,このページではさらに のときは とします。
カプレカ数(特に3桁の場合)について
3桁のカプレカ数は のみである。
4桁のカプレカ数は のみである。
カプレカ数の意味,および関連する性質について解説します。
クンマーの定理とその証明
が素数 で割り切れる回数は と を 進数表示して足し算をしたときの繰り上がりの回数と等しい。
整数の美しい定理です!
リウヴィル数の具体例と性質
以下を満たす実数 をリウヴィル数(リュービル数)と言う:
任意の正の整数 に対して,ある正の整数 が存在して
を満たす。
定義がやや複雑ですが「 が有理数 でかなり精度よく近似できる」というイメージです。
円分多項式とその性質
( 乗して になる数のうちの一つ)とおく。多項式
を円分多項式(円周等分多項式)と言う。
ただし, は 以上 以下の整数で, と互いに素なもの全体の集合です。
数列における余りの周期性(特にフィボナッチ数列)
数列における余りの周期性について,以下の2つの話題を紹介します。
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漸化式で表される数列における,割り算の余りの周期性(受験レベル)
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特に,フィボナッチ数列における周期について(難しい)
原始ピタゴラス数の木
すべての原始ピタゴラス数は, に対して,3つの行列 のどれかをかける操作を何度か繰り返すことで作れる。ただし,
,
,
ピタゴラス数に関する非常におもしろい定理です。この定理の主張と証明を詳しく解説します。
n進法・n進数の解説と問題例
n進法とは,n種類の記号を用いて数を表現する方法。また,n進法で表された数をn進数という。
n進法は「n進位取り記数法」とも呼ばれます。
エジプト分数(単位分数の和)に関する4つの話題
のように,分子が である分数を単位分数と言います。
のように,分母が異なる単位分数の和のことをエジプト分数(エジプト式分数)と言います。
エジプト分数に関連する4つの話題を紹介します。
チャンパーノウン定数
のあとに正の整数を から小さい順に並べ続けた数
をチャンパーノウン定数と言う。
定義も名前も印象的な定数です!
友愛数の意味と友愛数を生み出す公式
(自分自身を除いた)約数の総和=相手となる正の整数のペアのことを友愛数と呼ぶ。
つまり, の約数の総和を と書くとき,友愛数とは
- かつ が成り立つペア のことです。
- が成り立つペア,とも言えます。
最大公約数の4通りの求め方
この記事では最大公約数を求める方法を4通り紹介します。
- 手っ取り早く計算する方法
はぜひマスターしておきましょう。他にも,
- 約数をすべて書き出す方法
- 重要な性質を使う方法
- 大きい数の場合に高速に計算する方法
も解説します。
リュカ数の意味とおもしろい性質
で定まる数列 に現れる数をリュカ数と呼ぶ。
リュカ数について,3つの話題を紹介します。「一般項」と「フィボナッチ数との加法定理」は大学入試レベルです。最後の「三角関数表示」では複素三角関数が登場します。