クロネッカーの稠密定理とその証明

$\{ix\}=\{jx\}$ となる自然数 $i,j　(i <j)$ が存在すると仮定すると，

$(j-i)x$ が整数となり $x$ が無理数であることに矛盾。

よって背理法により $\{x\},\{2x\},\{3x\},\cdots$ たちは全て異なる。

ステップ2：

任意の自然数 $N$ に対して以下の議論が適用できる。

$0$ から $1$ の区間を $N$ 等分する。鳩ノ巣原理より，$\{x\},\{2x\},\cdots,\{(N+1)x\}$ のいずれかは同じ区間に属する。それを $\{ix\}$ と $\{jx\} (i <j)$ とおく。

・ステップ1により $\{ix\}=\{jx\}$ とはならない

・パターンA： $\{ix\} <\{jx\}$ のとき

$\{(j-i)x\}=\{jx\}-\{ix\} <\dfrac{1}{N}$

よって， $0 <\{(j-i)x\} <\dfrac{1}{N}$

（つまり十分 $0$ に近い）

・パターンB： $\{jx\} <\{ix\}$ のとき

$\{(j-i)x\}=1-(\{ix\}-\{jx\}) > 1-\dfrac{1}{N}$

よって， $1-\dfrac{1}{N} <\{(j-i)x\} <1$

（つまり十分 $1$ に近い）

パターンBも同様なので以下パターンAについて証明する。

ステップ3：

端っこに近い $\{(j-i)x\}$ を利用して $\{k(j-i)x\} (k=1,2,3,\cdots)$ たち（図の赤丸）を考えると十分狭い間隔で均等に散らばる。区間幅 $b-a$ よりも小さくなるくらい $N$ を十分大きく取っておけば必ず $a$ と $b$ の間に1つは $\{k(j-i)x\}$ が存在することになる。