ヴィエトの無限積の公式

$\sin x=2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}\\ =2^2\sin\dfrac{x}{2^2}\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2^2}\\ =\cdots\\ =2^n\sin\dfrac{x}{2^n}(\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\cos\dfrac{x}{2^k})$

ここで，

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}2^n\sin\dfrac{x}{2^n}\\ \displaystyle=x\lim_{n\to\infty}\dfrac{2^n}{x}\sin\dfrac{x}{2^n}\\ =x$

なので，上記の式で $n\to\infty$ として，オイラーの公式を得る：

$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\cos\left(\dfrac{x}{2^n}\right)=\dfrac{\sin x}{x}$

オイラーの公式で $x=\dfrac{\pi}{2}$ を代入するとヴィエト（Viete，ビエト）の公式が得られる。

$\cos\dfrac{\pi}{2^n}$ の値を求める必要があるが，それは半角の公式 $\cos\dfrac{x}{2}=\dfrac{\sqrt{2+2\cos x}}{2}$ を使って順次求めることができ，上記のような式が得られることが分かる。

サインの倍角公式より，

$\sin 160^{\circ}=2\sin 80^{\circ}\cos 80^{\circ}\\ =2^2\sin 40^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 80^{\circ}\\ =2^3\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 80^{\circ}$

これと，$\sin 160^{\circ}=\sin 20^{\circ}$ からモーリーの法則がわかる。