三角関数の合成のやり方・証明・応用

$\sin$ の加法定理より，合成公式の右辺は，

$\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)\\=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\alpha\sin\theta+\sin\alpha\cos\theta)$

ここで，$\alpha$ は $(a,b)$ に対応する下図のような角度であったので
$\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

これらを上式に代入すると，

$\sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a\sin\theta}{\sqrt{a^2+b^2}}+\dfrac{b\cos\theta}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\\ =a\sin\theta+b\cos\theta$

となり，三角関数の合成公式の左辺になった。

加法定理より，合成公式の右辺を変形すると

$\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta+\beta) =\sqrt{a^2+b^2}(\cos{\theta}\cos{\beta} - \sin{\theta}\sin{\beta}) \\ = \sqrt{a^2+b^2}(\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{\theta} +\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{\theta}) \\ = a\sin{\theta} + b\cos{\theta}$

となり，合成公式の左辺となった。

$a=1, b=\sqrt{3}$ として三角関数の合成公式

$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$

を使うと，

$\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta\\ =\sqrt{(1)^2+(\sqrt{3})^2}\sin(\theta+\alpha)\\ =2\sin(\theta+\alpha)$

となる。ただし，$\alpha$ は $(1,\sqrt{3})$ に対応する角度，つまり $1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形の内角であり，$\alpha=60^{\circ}$

つまり $\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta=2\sin(\theta+60^{\circ})$

$\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta\\ =2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\dfrac{1}{2}\sin\theta\right)$

よって，$\sin\beta=-\dfrac{1}{2},\cos\beta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\beta$ を見つければ，上式は

$2(\cos\beta\cos\theta-\sin\beta\sin\theta)\\ =2\cos(\theta+\beta)$

となる。そして，そのような $\beta$ は例えば $-30^{\circ}$ とすればよい。つまり，

$\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta=2\cos(\theta-30^{\circ})$

三角関数の合成公式より，図を用いて求めると

$\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+45^{\circ})$

よって，描きたい関数は $y=\sqrt{2}\sin\theta$ のグラフを $\theta$ 軸方向に $-45^{\circ}$ 平行移動したもの。

三角関数の合成公式より，

$f(\theta)=\sqrt{13}\sin(\theta+\alpha)$

ただし，$\alpha$ は $(2,3)$ に対応する角度（具体的に求める必要はない）。

よって $f(\theta)$ の最小値は $-\sqrt{13}$，最大値は $\sqrt{13}$ である。