三角関数を微分すると位相が90度進むこと

更新 2021/03/07

$\sin x$ および $\cos x$ は微分すると位相が90度進む。積分すると位相が90度遅れる。

三角関数の微分・積分と位相の進み・遅れについて紹介します。

三角関数の微分

$\sin x$ の微分は $\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$

$\cos x$ の微分は $\cos \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$

証明

以下の二つの公式を組み合わせることで簡単に証明できる。

・三角関数の微分公式（数学3の教科書に載っている）:

$\sin x$ の微分は $\cos x$

$\cos x$ の微分は $-\sin x$

・三角関数の定義より簡単に導かれる公式：

$\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x$

$\cos \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin x$

なお，図形的な説明もできます。→sinxの微分公式の3通りの証明の証明3参照。

例

$\sin \theta$ の位相は $\theta$ ， $3\sin 2x$ の位相は $2x$

例

$\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ は $\sin x$ よりも位相が $\dfrac{\pi}{2}$ 進んでいる。

$2\cos x$ は $\cos \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ よりも位相が $\dfrac{\pi}{2}$ 遅れている。

位相遅れ，進み

この意味は $y=\sin x$ （赤）と $y=\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ （青）のグラフを同じ図に書いてみると分かりやすいです。赤が青を（ $\frac{\pi}{2}$ だけ遅れながら）追いかけている様子が見て取れます。

さきほどの議論と合わせると「サインとコサインは微分すると位相が90度進む」と言うことができます。逆に「サインとコサインは積分すると位相が90度遅れる」と言うこともできます。

サインやコサインの高階微分に関しては「 $\sin x$ ， $\cos x$ ， $-\sin x$ ， $-\cos x$ を繰り返す」と表現されることが多いですが，上記公式を繰り返し使うことで，サインやコサインの $n$ 階微分を簡潔に表現できます。

$\sin x$ の $n$ 階微分は $\sin \left(x+\dfrac{n}{2}\pi\right)$

$\cos x$ の $n$ 階微分は $\cos \left(x+\dfrac{n}{2}\pi\right)$

最後に少しだけ物理の話です。

交流回路において，

説明

コンデンサ：

$Q=CV$ と $I=\dfrac{dQ}{dt}$ より $I=C\dfrac{dV}{dt}$

電圧を微分すると電流になるので，位相は電流の方が90度進んでいる。

コイル：

$V=L\dfrac{dI}{dt}$

電流を微分すると電圧になるので，位相は電圧の方が90度進んでいる。

位相幾何の位相とは全く関係ありません。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！