三角関数の相互関係とその証明

$\sin\theta,\cos\theta$ の定義は

$$\sin\theta=\dfrac{BC}{AC}, \ \cos\theta=\dfrac{AB}{AC}$$

であった。よって，

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=\dfrac{AB^2+BC^2}{AC^2}$$

ここで，三平方の定理より

$$AB^2+BC^2=AC^2$$

なので，上式の右辺は $1$ となる。

さきほど見た定義 $\sin\theta=\dfrac{BC}{AC}$，$\cos\theta=\dfrac{AB}{AC}$ より，

$$\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{BC}{AC}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{BC}{AB}$$

となり，$\tan\theta$ の定義と一致する。

$(\cos\theta,\sin\theta)$ は単位円上にあるので $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ は $\tan\theta$ の定義そのものである。

1，2より，

$$\begin{aligned} &1+\tan^2\theta\\ &=1+\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\\ &=\dfrac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\\ &=\dfrac{1}{\cos^2\theta} \end{aligned}$$

1，2より，

$$\begin{aligned} 1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}&=1+\dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}\\ &=\dfrac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin^2\theta}\\ &=\dfrac{1}{\sin^2\theta} \end{aligned}$$

相互関係：$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より，

$$\begin{aligned} \cos^2\theta &=1-\sin^2\theta\\ &=1-\dfrac{9}{25}\\ &=\dfrac{16}{25} \end{aligned}$$

ここで，$0^{\circ}\leqq\theta\leqq 90^{\circ}$ であり $\cos\theta>0$ なので $\cos\theta=\dfrac{4}{5}$

また，相互関係：$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より $\tan\theta=\dfrac{3}{4}$

$$\begin{aligned} &\left(x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots\right)^2\\ &\,+\left(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots\right)^2=1 \end{aligned}$$

を証明したい。

左辺の奇数次の項は $0$ であり，定数項は $1$ である。

また，$(1-1)^{2n}=0$ から導かれる公式： $\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{k}{}_n\mathrm{C}_k=0$ を使うと左辺の $2$ 次以上の偶数次の項も $0$ であることが確認できる。