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三角関数の相互関係とその証明

更新日時 2021/03/07
  1. sin2θ+cos2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

  2. tanθ=sinθcosθ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}

  3. 1+tan2θ=1cos2θ1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}

三角関数 sinθ,cosθ,tanθ\sin\theta,\cos\theta,\tan\theta の間には,上記のような3つの関係式が成立します。これらの関係式のことを, 三角関数の相互関係と言います。

このページでは,三角関数の相互関係の証明を2通り解説します。

目次
  • 三角関数の相互関係の証明(直角三角形から)

  • 三角関数の相互関係の証明(単位円から)

  • 三角関数の相互関係3の証明

  • 4つめの相互関係

  • おまけ:マクローリン展開から1を導出

三角関数の相互関係の証明(直角三角形から)

直角三角形を用いた三角関数の定義から相互関係の1と2を導出します。

→三角関数の3通りの定義とメリットデメリットの定義1)

証明1

三角関数の定義

sin2θ+cos2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1の証明です。

sinθ,cosθ\sin\theta,\cos\theta の定義は

sinθ=BCAC\sin\theta=\dfrac{BC}{AC}cosθ=ABAC\cos\theta=\dfrac{AB}{AC}

であった。

よって,

sin2θ+cos2θ=AB2+BC2AC2\sin^2\theta+\cos^2\theta=\dfrac{AB^2+BC^2}{AC^2}

ここで,三平方の定理より AB2+BC2=AC2AB^2+BC^2=AC^2 より上式の右辺は 11 となる。

証明2

tanθ=sinθcosθ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}の証明です。

証明1に加えて,sinθcosθ=BCACACAB=BCAB\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{BC}{AC}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{BC}{AB}

となり,tanθ\tan\theta の定義と一致する。

三角関数の相互関係の証明(単位円から)

単位円を用いた三角関数の定義から相互関係を導出します。

→三角関数の3通りの定義とメリットデメリットの定義2)

証明1

sct2

sin2θ+cos2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 の証明です。

(cosθ,sinθ)(\cos\theta,\sin\theta) は単位円上にあるので sin2θ+cos2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

証明2

tanθ=sinθcosθ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} の証明です。

証明1より、 tanθ=sinθcosθ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}tanθ\tan\theta の定義そのものである。

三角関数の相互関係3の証明

次に,

1+tan2θ=1cos2θ1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}

を証明してみます。

これは,今までに証明した三角関数の相互関係

sin2θ+cos2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

tanθ=sinθcosθ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}

を使えば証明できます。

3の証明

1,2より,

1+tan2θ=1+sin2θcos2θ=cos2θ+sin2θcos2θ=1cos2θ1+\tan^2\theta\\ =1+\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\\ =\dfrac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\\ =\dfrac{1}{\cos^2\theta}

4つめの相互関係

今までの3つの公式に加えて,以下の公式も三角関数の相互関係と呼ばれることがあります:

1+1tan2θ=1sin2θ1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta}

証明

1,2より,

1+1tan2θ=1+cos2θsin2θ=sin2θ+cos2θsin2θ=1sin2θ1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}=1+\dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}\\ =\dfrac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin^2\theta}\\ =\dfrac{1}{\sin^2\theta}

4つめはあまり有名ではありませんが,3つめ:

1+tan2θ=1cos2θ1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}

と合わせて覚えておくとよいでしょう。

おまけ:マクローリン展開から1を導出

マクローリン展開を用いた三角関数の定義から相互関係1を導出します。

→三角関数の3通りの定義とメリットデメリットの定義3)

証明の概略

(xx33!+x55!x77!+)2\left(x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots\right)^2

+(1x22!+x44!x66!+)2=1\,+\left(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots\right)^2=1

を証明したい。

左辺の奇数次の項は 00 であり,定数項は 11 である。

また,(11)2n=0(1-1)^{2n}=0 から導かれる公式: k=02n(1)knCk=0\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{k}{}_n\mathrm{C}_k=0 を使うと左辺の 22 次以上の偶数次の項も 00 であることが確認できる。

3と4はペアなので,片方だけ教科書に載せるのではなくて,両方載せる,または両方載せないでほしいです。

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