三角関数の３通りの定義とメリットデメリット

$0 <\theta < 90^{\circ}$ を満たす $\theta$ に対して

$\angle A=\theta, \angle B=90^{\circ}$ となる直角三角形を描き，

$\sin\theta=\dfrac{BC}{AC}$，$\cos\theta=\dfrac{AB}{AC}$，$\tan\theta=\dfrac{BC}{AB}$ と定義する。

任意の実数 $\theta$ に対して

$x$ 軸の正の部分を原点中心に反時計回りに $\theta$ だけ回転させた半直線と単位円の交点の座標を $(\cos\theta,\sin\theta)$ と定義する。

また（$\cos\theta\neq 0$ のもとで），$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ と定義する。

任意の複素数 $z$ に対して

$$\begin{aligned} \sin z &= \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\dfrac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ & =z-\dfrac{z^3}{6}-\dfrac{z^5}{120} + \cdots\\ \cos z&= \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\dfrac{z^{2k}}{(2k)!}\\ &=1-\dfrac{z^2}{2}+\dfrac{z^4}{24} +\cdots \end{aligned}$$