不定方程式

    更新日時 2021/03/12

    因数分解公式(n乗の差,和)

    nn 乗の差の因数分解公式

    anbn=(ab)(an1+an2b++abn2+bn1)a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})

    特に n=2,3n=2, 3 の場合の公式はお馴染みでしょう。 n=2:a2b2=(ab)(a+b)n=3:a3b3=(ab)(a2+ab+b2)n=4:a4b4=(ab)(a3+a2b+ab2+b3)n=2:a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\n=3:a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\n=4:a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)

    また,nn が奇数の場合には,bbb-b と置き換えることによって nn 乗の和の公式も作ることができます:

    an+bn=(a+b)(an1an2b+abn2+bn1)a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})

    特に n=3n=3 の場合の公式はお馴染みでしょう。 n=3:a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)n=5:a5+b5=(a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)n=3:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\n=5:a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)

    → 因数分解公式(n乗の差,和)

    ピタゴラス数の求め方とその証明

    ピタゴラス数とは,直角三角形の3辺の長さとなるような3つの整数の組のことです。例えば,3辺の長さが (3,4,5)(3,4,5) であるような直角三角形が存在するので,(3,4,5)(3,4,5) はピタゴラス数です。

    この記事では, ピタゴラス数の意味 や, ピタゴラス数を生み出す公式 について解説します。

    → ピタゴラス数の求め方とその証明

    ユークリッドの互除法の証明と不定方程式

    ユークリッドの互除法(ごじょほう)とは,大きな数字たちの最大公約数を素早く計算する方法です。

    この記事では, ユークリッドの互除法のやり方ユークリッドの互除法の不定方程式への応用方法 などを解説します。

    → ユークリッドの互除法の証明と不定方程式

    一次不定方程式ax+by=cの整数解

    不定方程式とは,3x+5y=23x+5y=2 のように,方程式の数よりも未知変数の数が多いような方程式のことです。

    この記事では,ax+by=cax+by=c という不定方程式の整数解について,重要な定理の証明と,実際に不定方程式の一般解を求める方法を説明します。

    → 一次不定方程式ax+by=cの整数解

    平方剰余と基本的な問題

    平方数に関する重要な性質:

    1:平方数を3で割った余りは必ず0か1。余りが2になることはない。

    2:平方数を4で割った余りは必ず0か1。余りが2か3になることはない。

    → 平方剰余と基本的な問題

    因数分解公式(ソフィージェルマンの恒等式)

    ソフィー・ジェルマン(Sophie Germain)の恒等式:

    a4+4b4=(a2+2ab+2b2)(a22ab+2b2)a^4+4b^4=(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)

    一見因数分解不可能な式も因数分解できるので,整数問題で威力を発揮します。

    → 因数分解公式(ソフィージェルマンの恒等式)

    不定方程式の解き方6パターン

    方程式の数よりも変数の数の方が多い方程式系のことを不定方程式といいます。

    特に,整数係数の不定方程式をディオファントス方程式といいます。

    ディオファントス方程式の整数解を求める問題は入試や数学オリンピックで超頻出なので主要な6パターンを整理しておきます。

    → 不定方程式の解き方6パターン

    不定方程式の難問

    2014年日本数学オリンピック本選第二問です:

    問題

    2a+3b+1=6c2^a+3^b+1=6^c を満たす自然数 (a,b,c)(a,b,c) の組を全て求めよ

    解答と,解答に至るまでの考え方を詳しく解説します。

    → 不定方程式の難問

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